חוקי קפלר

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוקי קפלר (באנגלית: Kepler Laws) הם חוקים המתארים את מסלול כוכבי הלכת סביב השמש. חוקים אלו התגלו על ידי האסטרונום יוהנס קפלר (Johannes Kepler) מניתוח מדוקדק של התצפיות הרבות שנאספו (בעין בלתי מצוידת) על ידי האסטרונום טיכו בראה (Tycho Brahe). חוקים אלו הוכללו על ידי קפלר על מערכת השמש, אך הם מתארים נכונה באופן כללי תנועת שני גופים שבהם גוף אחד מאסיבי הרבה יותר מהגוף השני.


החוק הראשון של קפלר

הגדרה גאומטרית של אליפסה - אליפסה הינה העקומה (מסומנת בקו אדום) המתוארת ע"י הנקודות שמקיימות AP+BP=2a, כאשר AP הינו המרחק של הנקודה A מנקודה כלשהי P על גבי האליפסה, BP הינו המרחק של הנקודה B מנקודה P על גבי האליפסה ואילו a הינו קבוע.

החוק הראשון של קפלר (באנגלית: Kepler's first law) קובע כי מסלול של כל כוכב לכת סביב השמש הינו אליפסה שהשמש נמצאת באחד מהמוקדים שלה.

האיור משמאל מדגים הגדרה גאומטרית של אליפסה - מוקדי האליפסה שמשמים לבנייתה הגאומטרית מסומנים באותיות A ו B. כאמור חוקי קפלר קובעים כי מסלול כוכב הלכת מתואר ע"י אליפסה שהשמש באחד ממוקדי האליפסה. מאחר והאליפסה סימטרית ביחס למוקדיה, אין זה משנה באיזה מוקד נמקם את השמש.

החוק השני של קפלר

תיאור גאומטרי של החוק השני של קפלר. הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. כפי שנראה באיור שטח המשולש SAB זווה לשטח המשולש CDS ועל כן הזמן שבו לוקח לכוכב הלכת לנוע מ A ל B זהה לזמן שבו הוא גומע את המרחק בין הנקודות C ל D.

החוק השני של קפלר או חוק השטחים של קפלר (באנגלית: Kepler's second law) קובע כי הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים.

החוק השני של קפלר מודגם באיור משמאל. אם שטחו של המשולש SAB שווה לשטחו של המשולש CDS, אזי פרק הזמן שבו כוכב הלכת עובר מנקודה A לנקודה B שווה לפרק הזמן שבו כוכב הלכת נע מהנקודה C לנקודה D. משמעותו של החוק הנ"ל הוא שכאשר כוכב הלכת קרוב לשמש (מסומנת בעגול צהוב), אזי הוא נע מהר יותר ביחס למהירותו כאשר הוא רחוק מהשמש. החוק השני של קפלר נובע מחוק שימור התנע הזוויתי.

החוק השלישי של קפלר

החוק השלישי של קפלר (באנגלית: Kepler's third law) קובע כי יחס ריבועי זמני ההקפה של שני כוכבי לכת את השמש מתכונתי ליחס המרחקים שלהם מהשמש בחזקת שלוש.

ניתן לבטא את החוק השלישי של קפלר על ידי הנוסחא הבאה:

\Big(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Big)^{2}\propto\Big(\frac{a_{1}}{a_{2}}\Big)^{3}


כאשר P1 ו- P2 הינם זמני המחזור סביב השמש של שני כוכבי לכת ואילו a1 ו- a2 הינם חצאי הציר הארוך של האליפסות המתארות את מסלולי הגופים סביב השמש (נקראים גם המרחק הממוצע מהשמש, אם כי מדובר בממוצע בין המרחק הקטן ביותר לגדול ביותר ולא ממוצע בזמן).

החוק השלישי של קפלר נובע מחוקי ניוטון וחוק הכבידה העולמי של ניוטון. מחוקים אלו ניתן לגזור את הנוסחא הבאה עבור גופים בעלי מסה נקודתית (בקרוב שכל מסת הגוף מרוכזת בנקודה):


\frac{G(M_{1}+M_{2})}{4\pi^{2}}=\frac{a^{3}}{P^{2}}

כאשר ׂG הינו קבוע הכבידה העולמי, a הינו חצי הציר הארוך של האליפסה המתארת את מסלולו של גוף בעל מסה M2 המקיף גוף אחר בעל מסה M1 בזמן מחזור P. נוסחא זו מהווה חוק קפלר מוכלל הנכון לכל מערכת שניתנת לתיאור ע"י תנועה דו-גופית.

ניתן גם להציג את המשוואה הנ"ל כתלות במהירות הסיבוב, v, של הגוף המשני סביב מרכז הכובד ע"ע הצבה של:

v=\frac{2\pi a}{P}

ונקבל:

G(M_{1}+M_{2})=\,av^{2}

או לסירוגין:

2\pi G(M_{1}+M_{2})=\,Pv^{3}

ו-

G(M_{1}+M_{2})=\,av^{2}

ההיסטוריה של חוקי קפלר

החוק הראשון והשני התפרסמו ע"י קפלר בשנת 1609. היסטורית "החוק הראשון" התגלה ע"י קפלר לאחר החוק השני, ראשית הבין קפלר שמסלול כוכבי הלכת מתואר על ידי צורה מאורכת כלשהי וכוכב הלכת מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. רק לאחר מכן הבין שצורת המסלול הנ"ל היא אליפסה. החוק השלישי התגלה ע"י קפלר רק בשנת 1618.

חוקי קפלר הובילו את סר אייזיק ניוטון (Sir Isaac Newton) לגזור את חוק הכבידה העולמי שלו ואת חוקי ניוטון.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק