טריגונומטריה כדורית

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טריגונומטריה כדורית (באנגלית: Spherical Trigonometry) היא הענף של המתמטיקה העוסק בקשרים טריגונומטרים (קשרים המערבים יחסים בין צלעות משולשים וזוויות במשולשים) על פני כדור.

בדומה לטריגונומטריה האוקלידית (טריגונומטריה על פני מישור), ניתן להגדיר גם טריגונומטריה לא מישורית. לדוגמא, על פני כדור ניתן להגדיר משולשים שנוצרים כתוצאה מחיתוך של שלושה מישורים, שעוברים דרך מרכז הכדור, עם פני השטח של הכדור - משולשים כאלו נקראים משולשים כדוריים (Spherical Triangles).

הטריגונומטריה של משולשים כדוריים הינה שימושית במיוחד בתחום האסטרונומיה.

הגדרות

מעגל גדול

מעגל גדול (Great Circle) – מעגל על פני כדור שמוגדר ע"י נקודות החיתוך עם מישור שעובר דרך מרכז הכדור. לדוגמא: קווי האורך על כדור הארץ ובכיפת השמיים הינם מעגלים גדולים, בעוד קווי הרוחב (למעט קו המשווה) הם לא מעגלים גדולים.

מעגל קטן

מעגל על פני הכדור שנוצר ע"י חיתוך של מישור עם הכדור כאשר המישור איננו עובר דרך מרכז הכדור.

משולש כדורי

דוגמא למשולש כדורי. זווית הצלעות מסומנת באותיות קטנות ואילו הזוויות בין הצלעות באותיות גדולות.

משולש כדורי (Spherical Triangle) - הינו משולש על פני כדור שצלעותיו הינן קטעים של מעגלים גדולים. שימו לב: משולש שחלק או כל צלעותיו הם מעגלים קטנים איננו נקרא משולש כדורי.

האיור הבא מדגים כיצד נראה משולש כדורי – בסגול מסומנות צלעות המשולש הכדורי, שהן מעגלים גדולים ואורכן נמדד בזווית.

למשולשים כדוריים שימושים נרחבים באסטרונומיה שכן ניתן לעשות בהם שימוש למצוא אורכים וזוויות על פני כיפת השמיים וכן ניתן לעשות בהם שימוש על מנת להמיר בין מערכות של קורדינאטות שמימיות.

קשרים טריגונומטרים במשולשים כדוריים

רשימת נוסחאות טריגונומטריות עבור משולשים כדוריים - בטבלה הבאה אותיות קטנות (a,b,c) מייצגות צלעות של משולשים ואילו אותיות גדולות (A,B,C) מייצגות זוויות. במשולש כדורי אורכי הצלעות נמדדים גם הם בזוויות.

 \sin(a)\sin(B)=\,\sin(b)\sin(A)

\sin(a)\cos(B)=\,\cos(b)\sin(c)-\sin(b)\cos(c)\cos(A)

\cos(a)=\,\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A)

\cos(A)=\,-\cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C)\cos(a)

\sin(A)\cos(b)=\,\cos(B)\sin(C)+\sin(B)\cos(C)\cos(a)

\sin(A)\cos(c)=\,\sin(B)\cos(C)+\cos(B)\sin(C)\cos(a)

\sin(A)\cot(B)=\,\sin(c)\cot(b)-\cos(c)\cos(A)


\cos\Big(\frac{a}{2}\Big)\sin\Big(\frac{B+C}{2}\Big)=\cos\Big(\frac{A}{2}\Big)\cos\Big(\frac{b-c}{2}\Big)

\cos\Big(\frac{a}{2}\Big)\cos\Big(\frac{B+C}{2}\Big)=\sin\Big(\frac{A}{2}\Big)\cos\Big(\frac{b+c}{2}\Big)

\sin\Big(\frac{a}{2}\Big)\sin\Big(\frac{B-C}{2}\Big)=\cos\Big(\frac{A}{2}\Big)\sin\Big(\frac{b-c}{2}\Big)

\sin\Big(\frac{a}{2}\Big)\cos\Big(\frac{B-C}{2}\Big)=\sin\Big(\frac{A}{2}\Big)\sin\Big(\frac{b+c}{2}\Big)


נהוג להגדיר את חצי סכום הצלעות, s, של המשולש כדורי:

s=\frac{a+b+c}{2}

m^{2}=\,\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)\sin(s)

\sin(b)\sin(c)\sin^2\Big(\frac{A}{2}\Big)=\sin(s-b)\sin(s-c)

\sin(b)\sin(c)\cos^{2}\Big(\frac{A}{2}\Big)=\sin(s)\sin(s-a)

\tan\Big(\frac{A}{2}\Big)=\frac{m}{\sin(s-a)}


שטח של משולש כדורי

שטחו של משולש כדורי ניתן ע"י:

{\rm Area}=\,A+B+C-\pi

שטח של טבעת על גבי כדור

כאמור שטחו של כדור בסטרדיאנים הוא ובמעלות:


4\pi\Big(\frac{180}{\pi}\Big)^{2}=41252.96125 מעלות רבועות.

שטח (בסטראדיאנים) של טבעת על פני הכדור המוגדרת ע"י שני מעגלים קטנים בעלי מרכז משותף הוא:

{\rm Annulus~Area}=2\pi|\cos(\phi_{1})-\cos(\phi_{2})|

כאשר φ1 הוא רדיוסו של המעגל הקטן הפנימי ואילו φ2 הוא רדיוסו של המעגל הקטן החיצוני.

מטריצות סיבוב

כאמור אחד השימושים של הנוסחאות הטריגונומטריות של המשולשים כדוריים הם התמרות בין מערכות קורדינאטות שונות. שיטה נוספת להתמרת קורדינאטות ואלגנטית יותר (לעיתים) היא שימוש במטריצות סיבוב:

ע"י כפל מטריצי של מטריצת סיבוב בוקטור הכיוון הקרוי גם קוסינוס הכיוון (Cosine direction) ניתן לעבור ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת.

ראשית בהינתן קווי האורך, α וקוי הרוחב, β במערכת קורדינאטות כלשהי קוסינוסי הכיוון של הקורדינאטת הנ"ל ניתנות ע"י:

x=\,\cos(\alpha)\cos(\delta)

y=\,\sin(\alpha)\cos(\delta)

z=\,\sin(\delta)


עתה ניתן להפעיל על וקטור הכיוון את מטריצת הסיבוב שמתארת את המעבר ממערכת קורדינאטות אחת לשנייה.

מטריצות הסיבוב הבאות מתארות את סיבוב הוקטור ביחס למערכת הצירים (במידה ומעונינים בסיבוב מערכת הצירים ביחס לוקטור יש להכפיל את הזווית במינוס 1). כאשר שלושת המטריצות מתארות סיבוב סביב ציר X, ‏Y, ו-Z, בהתאמה. הזווית θ מתארת את הסיבוב כפי שנמדד בכיוון הטריגונומטרי החיובי (נגד כיוון השעון - הברגה ימנית)


R_{x}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\0 & \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}

R_{y}=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & 0 & \sin{\theta}\\0 & 1 & 0\\-\sin{\theta}& 0 & \cos{\theta}\end{bmatrix}

R_{z}=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק