יחס אות לרעש

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

יחס אות לרעש (באנגלית: Signal to Noise Ratio) במכשיר מדידה הוא היחס בין העוצמה הנמדדת לסה"כ העוצמה של מקורות הרעש הידועים. עוצמת הרעש מבוטאת ע"י סטיית תקן (דרגת סמך) אחת של פונקצית ההתפלגות של מקורות הרעש. אחד חלקי יחס אות לרעש שווה (ראו להלן) לשגיאת המדידה היחסית (בשגיאת המדידה הכוונה היא לאי-הודאות במדידה ברמה של סטיית תקן אחת). יחס אות לרעש מסומן בד"כ ע"י: S/N או SNR.

יחס אות לרעש הוא מושג הנמצא בשימוש נרחב בהקשר של כמעט כל מכשיר מדידה. השימוש השכיח ביותר באסטרופיסיקה (אם כי לא היחידי) הוא לבטא את יחס האות לרעש של עצמים הנצפים באמצעות גלאי כלשהו (למשל מצלמת CCD, מד אור, או סרט צילום).

רוב הדוגמאות שיובאו להלן הן עבור יחס אות לרעש במצלמת CCD אך ניתן להרחיב מושג זה למכשירים נוספים.

הקשר בין יחס אות לרעש ושגיאה בבהירות

השגיאה בבהירות (ביחידות של מגניטוד), Δm, ניתנת ע"י:

\Delta{m}=\,\frac{1.086}{S/N}

ניתן לקבל נוסחא זו מהקשר בין הבהירות m ושטף הקרינה f:

m=\,-2.5\log_{10}{f}

על מנת לחשב את הקשר בין השגיאה היחסית בשטף Δf/f והשגיאה בבהירות נגזור את הביטוי הנ"ל ונקבל:

\Delta{m}=\,\vert -2.5\frac{1}{\ln{10}}\frac{\Delta{f}}{f}\vert

ולבסוף נציב את השגיאה היחסית בשטף הקרינה:

S/N=\,\frac{f}{\Delta{f}}

בביטוי הנ"ל, ונקבל את הנוסחא שאיתה פתחנו פרק זה.

הערכת הרעש

גלאי הסופר אירועים בדידים (למשל מונה גיגר שסופר פגיעת חלקיקים מסוגים שונים או מצלמת CCD שסופרת פוטונים - פוטונים הם החלקיקים הנושאים את הקרינה) ימדוד גם רעש. במקרה זה, עבור מקור קרינה המספק בממוצע(!) λ חלקיקים לשנייה, אם נבצע מספר מדידות של מספר החלקיקים המגיעים לגלאי כל שנייה, אנו נמדוד בכל מדידה ערכים שונים מ λ. הסיבה לכך היא טבעו האקראי של אופן פליטת החלקיקים (או הקרינה) מהמקור. כל שנייה מגיעים λ חלקיקים בממוצע, ולא בדיוק λ חלקיקים.

במידה והתהליך הפולט את החלקיקים הוא תהליך אקראי (כמו רוב התהליכים בטבע) אזי התפלגות זמני ההגעה של החלקיקים הבדידים לגלאי מוכתבת ע"י התפלגות פואסון (Poisson distribution). בהינתן תהליך עם תוחלת של λ ארועים בפרק זמן מסוים (קרי אם נבצע אין סוף מדידות בפרק זמן בעל אורך זהה, אזי הממוצע של כל המדידות יהיה בדיוק λ), הסיכוי לצפות במהלך מדידה בודדת בפרק זמן זה ב-k ארועים בדיוק (כאשר k מספר שלם לא שלילי) הוא (ניתן לגזור נוסחא זו בקלות מהתפלגות הבינומית):

P(k;\lambda)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

עבור λ גדולים ניתן להראות שסטיית התקן של הפיזור של λ ניתן ע"י \sqrt{\lambda}. במילים אחרות אם נבצע אין סוף מדידות של מספר הארועים בפרק הזמן הנתון אזי 68% מהם יהיו בתחום של \lambda\pm\sqrt{\lambda}.

על כן בהינתן מצלמת CCD המודדת בפרק זמן מסוים n פוטונים, אי הוודאות במדידה (סטיית תקן אחת) הנ"ל היא בקירוב טוב \sqrt{n}. נציין כי קירוב זה הינו מדויק עבור n גדולים והוא מהווה קירוב גס ב n קטנים מאד.

יחס אות לרעש במצלמת CCD

מצלמת CCD רושמת בכל פיקסל ערך שהוא מתכונתי (ביחס) ישר למספר הפוטונים (פוטונים הם החלקיקים הנושאים את הקרינה) שפגעו בכל פיקסל. לעת עתה נעסוק במקרה הפשוט שבו יחס הפרופורציה הנ"ל (הנקרא gain) הינו 1, כך שמספר המניות (Data Number או DN) על כל פיקסל שווה בדיוק למספר הפוטונים שפגעו בכל פיקסל. בהמשך נפתח את המקרה הכללי.

בהעדר מקורות רעש טבעיים, כגון רעש רקע ועוד, יחס האות לרעש ניתן ע"י הביטוי הבא:

S/N\approx\frac{S}{N}=\frac{S}{\sqrt{S}}=\sqrt{S}

כאשר הצבנו N=\sqrt{S} ע"פ התוצאה מהפרק הקודם שבו מצאנו כי הרעש (אי-הודאות הסטטיסטית) במדידה היא שורש מספר הארועים במדידה.

כאמור, נוסחא זו היא קירוב בלבד מאחר ואיננה מביאה בחשבון את כל מקורות הרעש.

מקורות רעש נוספים

במצלמת CCD (ובמכשירי מדידה אחרים) קימיים מקורות רעש נוספים. מקור הרעש החשוב ביותר שיש לקחת בחשבון הוא הרקע של השמיים. הרקע הנ"ל יכול להגיע מזיהום אור, זוהר האוויר, אור הזודיאק, או אור מפוזר באופטיקה של הטלסקופ.

כאשר אנו מודדים את האור המגיע מעצם שמיימי, הדבר כולל גם אור המגיע מהשמיים. על מנת להתגבר על הבעייה נהוג למדוד את הרקע של השמיים בטבעת (או באזור) מסביב לכוכב ולהפחית את הרקע מאור הכוכב (ראו מאמר מורחב בנושא: פוטומטריה).

אם נסמן את סה"כ המניות ברקע של אור הכוכב באות B ובאות S נסמן את סה"כ המניות של הכוכב בלבד (לא כולל הרקע) אזי יחס האות לרעש ניתן ע"י:

S/N\approx\frac{S}{\sqrt{S+B}}

שימו לב שהביטוי במכנה מתקבל מחיבור שגיאות פשוט.

מקורות רעש נוספים במצלמת CCD הם:

  • זרם תרמי (באנגלית: Dark Current) - מצלמת CCD עשויה לפלוט אלקטרונים (ראו מאמר בנושא: מצלמת CCD לגבי אופן הפעולה) באופן ספונטני ללא פגיעת פוטונים. בד"כ מקור רעש זה הקרוי זרם תרמי תלוי בטמפרטורה שאליה מקוררת מצלמת ה CCD. ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר כך יהיה הזרם התרמי נמוך יותר. מצלמות CCD מקצועיות בד"כ מקוררות באמצעות חנקן נוזלי לטמפרטורה של כ -90 מעלות צלסיוס. בטמפרטורות כאלו הזרם התרמי מאד נמוך והוא בד"כ בשיעור של כאלקטרון לשעה לפיקסל. על כן במצלמות כאלו ניתן להזניח את הזרם התרמי. לעומת זאת במצלמות המשמשות חובבי אסטרונומיה הזרם התרמי איננו זניח. נסמן את הזרם התרמי, ביחידות של אלקטרונים לשנייה לפיקסל, באות D.
  • רעש קריאה (באנגלית: Readout Noise), מסומן באות R - התהליך שבו המגבר במצלמת CCD קורא את מספר המניות על גבי כל פיקסל איננו חף מרעשים. רעש הקריאה נמדד ביחידות של אלקטרונים. בד"כ במצלמות מקצועיות רעש הקריאה הוא מסדר גודל של כ 6-10 אלקטרונים. במצלמות המשמשות אסטרונומים חובבים ועל גבי מצלמות לצילום נוף רעש הקריאה יכול להיות גדול הרבה יותר. קימיים סוגים מסוימים של מצלמות CCD (למשל L3-CCD) שבהן רעש הקריאה קרוב מאד לאפס (אך למצלמות אלו בעיות אחרות). בד"כ נהוג לומר שצילום אסטרונומי הוא נשלט רעש קריאה (באנגלית: Read Noise Dominated): אם רעש הקריאה גדול יותר מרעש הרקע (בסימון שבו אנו עושים שימוש רעש הרקע ניתן ע"י: \sqrt{B}). לעומת זאת אם רעש הרקע הוא מקור הרעש הדומיננטי אז נאמר כי הצילום הוא: נשלט רעש רקע (באנגלית: Background Noise Dominated).

יחס אות לרעש בגבול של רעש נשלט מקור

כאשר S\gg\,B\gg\,R ובמידה ומספר הפוטונים מהמקור S מתכונתי לזמן t, אזי:


\frac{S}{N}\approx\,\frac{S}{\sqrt{S}}=\,\sqrt{S}\propto\,\sqrt{t}

ניתן לראות כי במקרה הנ"ל יחס האות לרעש הינו מתכונתי לשורש מספר הפוטונים המגיעים מהמקור.

יחס אות לרעש בגבול של רעש נשלט רקע

כאשר S\ll\,B ו R\ll\,B ובמידה ומספר הפוטונים מהמקור S ומהרקע B מתכונתי לזמן t, אזי:


\frac{S}{N}\approx\,\frac{S}{\sqrt{B}}\propto\,\sqrt{t}

ניתן לראות כי במקרה הנ"ל יחס האות לרעש הינו מתכונתי ישר למספר הפוטונים המגיעים מהמקור.


יחס אות לרעש בגבול של רעש נשלט רעש קריאה

כאשר R\gg\,S\gg\,B ובמידה ומספר הפוטונים מהמקור מתכונתי לזמן t, אך רעש הקריאה הינו קבוע ולא תלוי בזמן אזי:

\frac{S}{N} \approx\,\frac{S}{R} \propto \,t

ובמקרה הזה יחס האות לרעש הינו מתכונתי לזמן החשיפה.

חישוב מפורט של יחס האות לרעש במצלמת CCD

יחס אות לרעש כתלות ברדיוס המפתח הפוטומטרי r. הגרף מחושב עבור טלסקופ במפתח של כמטר עם בהירות שמיים של כ 22 מגניטוד לשניית קשת רבועה, ראות אסטרונומית של 2 שניות קשת, גודל פיקסלים של חצי שניית קשת לפיסקל, יחס הגברה של 8.4, ורעש קריאה של 6.5 אלקטרונים. העקומות השונות הינן עבור כוכבים בבהירות שונה (15 עד 21). ניתן לראות כי יחס האות לרעש קטן כאשר בהירות הכוכב קטנה. בנוסף, יחס האות לרעש מקבל מקסימום עבור r שהינו שווה בערך ל FWHM. עוד ניתן לראות כי המפתח הפוטומטרי האופטימלי שבו יחס האות לרעש מרבי תלוי בבהירות הכוכב והוא גדול יותר עבור כוכבים בהירים יותר.

לפני שנרשום את יחס האות לרעש בצורה מפורטת, בהתחשב בכל גרמי השגיאה, יש צורך להציג מונחים נוספים:

  • יחס הגברה (באנגלית: Gain), מסומן ב g, הוא היחס בין מספר הפוטונים הפוגעים ב CCD למספר האלקטרונים (או המניות) שה CCD רושם. על כן ההגברה ניתנת ביחידות של מספר פוטונים חלקי מספר אלקטרונים. בד"כ יחס ההגברה נקבע על מנת להתאים בין מספר האלקטרונים שיכולים להיקלט בפיקסל בודד עם מספר הביטים שבהם נשמר האות.
  • זרם החושך (באנגלית: Dark Current), מסומן באות D. גם כאשר אור איננו פוגע בגלאי הוא עשוי לפלוט אלקטרונים באופן ספונטני. ניתן להקטין פליטה זו ע"י קירור מצלמת ה CCD. נהוג למדוד את זרם החושך ביחידות של אלקטרונים לשנייה לפיקסל.
  • רעש קריאה (באנגלית: Readout noise), מסומן באות R. בגלאים רבים בעת הדיגטיצזיה של האות המתקבל מהגלאי מתווסף רעש לקריאה. רעש זה, הקרוי כאמור רעש קריאה, תלוי בד"כ בטיב הגלאי, סוגו ומהירות הקריאה שלו.
  • יעילות קוונטית (באנגלית: Quantum Efficiency), מסומן ב QE. יעילות קוונטית של מצלמת CCD היא היחס בין מספר הפוטונים שגורמים לפליטת אלקטרונים על גבי המצלמה לסה"כ מספר הפוטונים שמגיעים ל CCD. מספר זה הינו תלוי באורך גל והוא מתאר כמה אחוז מהאור שמגיע אל ה CCD באמת נמדד. מספר זה נע (בשיא) בין 30% עבור CCD פשוטים המשמשים בתעשיית הצילום ומצלמות חובבים לכ 90% ב CCD המשמשים אסטרונומיים מקצועיים.
  • מפתח הטלסקופ, מסומן באות d, ככל שטלסקופ אסטרונומי גדול יותר כך הוא אוסף יותר אור ויכול להבחין בעצמים חיוורים יותר.


גורם חשוב נוסף הינו התפלגות אור הכוכב על גבי מצלמת ה CCD. נציין רק שמושג זה ניתן להרחבה עבור כל סוג של גלאי וסוג של מקור הפולט חלקיקים. כאשר אנו צופים על מקור אור נקודתי (לדוגמא כוכב שקוטרו הזוויתי קטן מכושר ההפרדה הזוויתי התאורטי של הטלסקופ), הכוכב לא יופיע כנקודה על פני הגלאי אלא הוא יראה כ"כתם" אור (קרי אור הכוכב ימרח על פני מספר פיקסלים). קיימות שתי סיבות חיצוניות (שאינן קשורות לגלאי) שגורמות לתופעה זו: (1) כושר ההפרדה הזוויתי של טלסקופ - כתוצאה מהתאבכות במפתח הטלסקופ מקור אור נקודתי יראה "מרוח". גודל ה"מריחה" מתכונתי הפוך למפתח הטלסקופ. לדוגמא כושר ההפרדה התאורטי, בתחום האור הנראה, של טלסקופ במפתח של כ 20 ס"מ הוא כ 0.6 שניות קשת. (2) הראות האסטרונומית - כתוצאה מזרמי אוויר בטמפרטורות שונות באטמוספרה של כדור הארץ, אור הכוכבים נשבר כאשר הוא עובר באטמוספרה של כדור הארץ ונמרח.

בנוסף יתכנו תופעות הקשורות לגלאי, לדוגמא, בעת חשיפת יתר (Saturation) אלקטרונים הנאגרים בפיקסל מסויים, זולגים לפיקסלים סמוכים.

בד"כ, נהוג לקרב את התפלגות האור של מקור אור נקודתי על פני הגלאי כגאוסיין:

F(r)=\,\frac{1}{2\pi\sigma^{2}} e^{-r^{2}/[2\sigma^{2}]}

כאשר r הינו המרחק ממרכז הגאוסיין ו σ הינו פרמטר המבטא את רוחב הגאוסיין. שימו לב שהביטוי הנ"ל מנורמל כך שהשטח מתחת לגאוסיין הדו ממדי הינו 1. כאמור, מקור אור נקודתי מופיע כ"מריחה" על פני הגלאי. לעיתים תכופות טיב הדמות של מקור אור נקודתי מבוטא ע"י רוחב הדמות בחצי הגובה של העוצמה המרבית (FWHM) . ניתן למצוא את הקשר בין ה FWHM לבין σ ע"י:

2\pi\sigma^{2} F(r)=\,\frac{1}{2}

וכך ניתן למצוא את הקשר:

{\rm FWHM}=\,2\sigma\sqrt{2\ln{2}}\cong\,2.7726\sigma


משיקולים של יחס אות לרעש אנו מודדים את עוצמת אורו של כוכב או עצם שמימי ב"מפתח" בעל גודל סופי הממורכז על הכוכב (ראו: פוטומטריה). בהנחה והתפלגות האור של הכוכב הינה גאוסיינית ואנו מודדים את סה"כ האור הנמצא במרחק r ממרכז הכוכב אזי היחס בין אור הכוכב המצוי ברדיוס r ממרכז הכוכב לסה"כ האור של הכוכב ניתן ע"י:

\int_{0}^{r}F(r)2\pi r dr =\,(1-e^{-r^{2}/[2\sigma^{2}]})

עתה אנו יכולים לחשב את יחס האות לרעש במקרה הכללי וכתלות במפתח r שבו אנו מודדים את אור הכוכב:

\frac{S}{N}(r)=\frac{(1-e^{-r^{2}/[2\sigma^{2}]})tS}{\sqrt{ (1-e^{-r^{2}/[2\sigma^{2}]})tS + \pi r^{2}t(B + D) + R^{2}}}

כאשר:

  • S - סה"כ מספר הפוטונים לשנייה המגיעים מהכוכב לגלאי.
  • B - מספר הפוטונים לשנייה לפיקסל המגיעים מהרקע לגלאי.
  • D - זרם החושך של הגלאי (Dark current) באלקטרונים לשנייה לפיקסל.
  • g - יחס ההגברה (gain) של הגלאי. איננו מופיע בנוסחא, אך במידה והגדלים ניתנים ביחידות של adu במקום פוטונים/אלקטרונים, יש להכפיל אותם ביחס ההגברה.
  • R - רעש הקריאה (Read noise) של הגלאי באלקטרונים.
  • t - זמן החשיפה בשניות.

הנוסחא הנ"ל מזניחה גורמי שגיאה קטנים נוספים כגון, אי-הודאות בידיעת הרקע של הכוכב וכו'.

באיור למעלה מתואר יחס אות לרעש כתלות ברדיוס המפתח הפוטומטרי r. הגרף מחושב עבור טלסקופ במפתח של כמטר עם בהירות שמיים של כ 22 מגניטוד לשניית קשת רבועה, ראות אסטרונומית של 2 שניות קשת, גודל פיקסלים של חצי שניית קשת לפיסקל, יחס הגברה של 8.4, ורעש קריאה של 6.5 אלקטרונים. העקומות השונות הינן עבור כוכבים בבהירות שונה (15 עד 21). ניתן לראות כי יחס האות לרעש קטן כאשר בהירות הכוכב קטנה. בנוסף, יחס האות לרעש מקבל מקסימום עבור r שהינו שווה בערך ל FWHM. עוד ניתן לראות כי המפתח הפוטומטרי האופטימלי שבו יחס האות לרעש מרבי תלוי בבהירות הכוכב והוא גדול יותר עבור כוכבים בהירים יותר.

הערכת הבהירות הגבולית

ראו מאמרים מורחבים בנושא: בהירות ובהירות גבולית.

ניתן להעריך את הבהירות הגבולית של טלסקופ אסטרונומי ע"י השוואת יחס האות לרעש לערך שאותו נגדיר כסף הגילוי - לדוגמא: SNR=3

הגורם החשוב ביותר המשפיע על הבהירות הגבולית הינו מפתח הטלסקופ. ככל שטלסקופ גדול יותר הוא אוסף אור רב יותר וכך הפרמטר S, המציין את מספר הפוטונים ליחידת זמן המגיעים לגלאי מעצם שמימי, גדול יותר. עבור זמן חשיפה t, הפרמטר S מתכונתי לשטח הטלסקופ d2, על כן נחליף את S ב:

S\equiv\,St\pi(d/2)^{2}

על כן בקרוב של יחס אות לרעש נשלט רעש מקור:

SNR\cong\,\sqrt{St\pi(d/2)^{2}}=3

את הבהירות הגבולית ניתן לקבל ע"י חילוץ הפרמטר S (שמבטא למעשה את בהירות העצם השמיימי):

S_{\rm lim}=\,\frac{SNR^{2}}{t\pi(d/2)^{2}}

ככל ש Slim קטן יותר כך ניתן להבחין בכוכבים חלשים יותר. ניתן לראות כי הבהירות הגבולית משתפרת כמו זמן החשיפה ועם שטח איסוף האור של הטלסקופ. שימו לב, הבהירות הגבולית בנוסחא זו ניתנת ביחידות של מניות ליחידת זמן.

נציין כי כאשר גודלו הזוויתי של פיקסל (ראו: סקאלת הפלטה) גדול (בהרבה) מהרדיוס האופטימלי שבו יחס האות לרעש הינו הטוב ביותר אזי הבהירות הגבולית של המערכת מונחתת במהירות.

במקרה הכללי (שיחס האות לרעש איננו בהכרח נשלט מקור) נקבל כי:

S_{\rm lim}=\,\frac{SNR^{2}+SNR\sqrt{4\pi B t \alpha r^{2} +4R^{2}+SNR^{2}}}{2\alpha  t}

כאשר בביטוי האחרון r הינו רדיוס המפתח שבו אנו מודדים את עוצמת האור ו α הינו החלק היחסי של אור העצם השמיימי שנמצא במפתח הנ"ל. לדוגמא, עבור רדיוס מפתח ששווה ל FWHM נקבל כי α=0.97 בקרוב.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים

ערן אופק