משוואת קפלר

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת קפלר (באנגלית: Equation of Kepler) היא משוואה שפיתרונה מתאר את פיתרון בעיית שני הגופים.

בהינתן מערכת של שני גופים המסתובבים סביב מרכז כובד משותף, מסלולי הגופים ניתנים לתיאור ע"י חתכים חרוטיים (לדוגמא: אליפסה). הגופים הנ"ל אינם נעים בתנועה קצובה (אלה אם מסלוללם מעגלי) ומהירותם משתנה כתלות במרחקם ממוקדי החתכים הקוניים. משוואת קפלר מאפשרת לחשב את מיקום הגוף כתלות בזמן.

משוואת קפלר מתיחסת בד"כ למשוואה המתארת תנועה אליפטית, אך ניתן לרשום אותה עבור כל חתך חרוטי כגון מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה.

מסלול אליפטי

האליפסה המסומנת בקו שחור מתארת את מסלול הגוף D (למשל כדור הארץ) מסביב לגוף S (למשל השמש), שנמצא באחד ממוקדי האליפסה. C הינה מרכז האליפסה והמעגל המסומן בקו מקווקו הינו מעגל עזר. הזווית E כאמור היא האנומליה האקסצנטרית ואילו הזווית u נקראת האנומליה האמיתית (True Anomaly). במסלול אליפטי, הקשר בין האנומליה האקסצנטרית ובין האנומליה האמיתית ניתן על ידי:

עבור מסלול אליפטי או מעגלי, עם אקצנטריות, e, המקיימת 0\ge e>1, נהוג לרשום את משוואת קפלר בצורה הבאה:

E=M+e\,\sin{E}


כאשר e הינה האקסצנטריות של המסלול (ראו: אלמנטים של מסלול וחתכים חרוטיים), E הינו גודל הקרוי: אנומליה אקסצנטרית (ראו להלן) ו M הינו גודל הקרוי אנומליה ממוצעת (ראו להלן). במסלול אליפטי, הזוויות הללו מתוארות באיור מצד שמאל.

באיור משמאל, ההאליפסה המסומנת בקו שחור מתארת את מסלול הגוף D (למשל כדור הארץ) מסביב לגוף S (למשל השמש), שנמצא באחד ממוקדי האליפסה. C הינה מרכז האליפסה והמעגל המסומן בקו מקווקו הינו מעגל עזר. הזווית E כאמור היא האנומליה האקסצנטרית ואילו הזווית ν נקראת האנומליה האמיתית (ראו להלן). במסלול אליפטי, הקשר בין האנומליה האקסצנטרית ובין האנומליה האמיתית יוגדר להלן.

למשוואת קפלר עבור מסלול אליפטי אין פיתרון אנליטי ויש ליפתור אותה בשיטות איטרטיוביות (ראו פרק העוסק בפיתרון משוואת קפלר).

אנומליה ממוצעת

אנומליה ממוצעת (באנגלית: Mean Anomaly), מסומנת באות M, היא הזווית בין הפריסנטר (הנקודה במסלול שבו שני הגופים נמצאים בקרבה מירבית) ובין מיקומו של גוף שנע במהירות זוויתית קצובה (מהירות קבועה) ששווה בדיוק למהירות הזוויתית הממוצעת של הגוף, n. מהירות זוויתית ממוצעת (באנגלית: Mean Motion) ניתנת ע"י חלוקת המעגל בזמן המחזור, P. למשל המהירות הזוויתית הממוצעת ביחידות של רדיאנים ליחידת זמן ניתנת ע"י 2π/P.

הקשר בין האנומליה הממוצעת והזמן, t, ביחס למן שבו הגוף עובר בפריסנטר, T, ניתו ע"י:

M=\,n(t-T)

שימו לב כי הנגזרת של M ע"פ הזמן היא למעשה המהירות הזוויתית הממוצעת:

\dot{M}=n

אנומליה אמיתית

אנומליה אמיתית (באנגלית: True Anomaly), מסומנת באות ν היא הזווית, כפי שנמדדת ממוקד האליפסה (או החתך הקוני במקרה של פרבולה או היפרבולה - הנקודה S באיור), בין הפריאפסיס (נקודה A באיור משמאל) ובין מיקום הגוף (הנקודה D באיור). האנומליה האמיתית קשורה לאנומליה האקצנטרית E ע"י קשר טריגונומטרי (ראו להלן).

אנומליה אקצנטרית

אנומליה אקצנטרית (באנגלית: Eccentric Anomaly) היא הזווית, כפי שנמדדת ממרכז האליפסה, בין נקודת הפריסנטר וההטל של מיקום הגוף על מעגל עזר שרדיוסו כחצי הציר הרקוך של האליפסה ומרכזו על מרכז האליפסה. האנומליה האקצנטרית מודגמת באיור משמאל למעלה ומסומנת באות E וניתנת ע"י הזווית בין הנקודות ACF. האנומליה האקצנטרית היא גודל עזר המופיע במשוואת קפלר - זווית האנומליה האקצנטרית קשורה לאנומליה האמיתית ע"י הנוסחא הטריגונומטרית הבאה:

\tan{\frac{\nu}{2}}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}

קשרים טריגונומטרים נוספים שראוי לציין ולעיתים עשויים לעזור בחישובים:

\cos{\nu}=\frac{\cos{E}-e}{1-e\,\cos{E}}

\sin{\nu}=\frac{\sqrt{1-e^{2}}\sin{E}}{1-e\,\cos{E}}

1+\cos{\nu}=\frac{(1-e)(1+\cos{E})}{1-e\,\cos{E}}

1-\cos{\nu}=\frac{(1+e)(1-\cos{E})}{1-e\,\cos{E}}

בנוסף מספר קשרים דיפרנציאלים שימושים ניתנים ע"י:

\frac{d\nu}{dM}=\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{(1-e\,\cos{E})^{2}}

\frac{d\nu}{dM}=\sqrt{1-e^{2}}\Big(\frac{dE}{dM}\Big)^{2}

\frac{dM}{dE}=1-e\,\cos{E}

באמצעות קשרים אלו ניתן גם לחלץ את הנגזרת של האנומליה האמיתית ע"פ הזמן:

\frac{d\nu}{dt}=\,\frac{d\nu}{dM}\frac{dM}{dt}=\,\frac{n\sqrt{1-e^{2}}}{(1-e\cos{E})^{2}}

והנגזרת של האנומליה האקצנטרית ע"פ הזמן:

\frac{dE}{dt}=\,\frac{dE}{dM}\frac{dM}{dt}=\frac{n}{1-e\cos{E}}

רדיוס וקטור

רדיוס וקטור או מרחק (באנגלית: Radius Vector), מסומן באות r, הוא המרחק בין מוקד החתך החרוטי (נקודה S באיור) לבין הגוף (נקודה D באיור). במסלול אליפטי הוא קשור לחצי הציר הארוך של האליפסה המסומנת באות a (האורך AC),האקסצנטריות e ואנומליה האמיתית ν (או לסירוגין למרחק בפריסנטר q – המרחק AS) על ידי:

r=a(1-e\,\cos{E})=\frac{a(1-e^{2})}{1+e\,\cos{\nu}}=\frac{q(1+e)}{1+e\,\cos{\nu}}

והנגזרת של הרדיוס וקטור ע"פ הזמן:

\dot{r}=\,\frac{nae\sin{E}}{1-e\cos{E}}

המהירות

המהירות, V, של גוף במסלול אליפטי ניתנת ע"י:

V=\sqrt{2}\frac{2\pi a}{P} \sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}}

כאשר כאמור P הוא זמן המחזור של הגוף שאותו גם ניתן לחשב מחוקי קפלר:

P=\sqrt{\frac{4\pi^{2} a^{3}}{G(M+m)}}

כאשר G הוא קבוע הכבידה העולמי, M מסת הגוף הראשי ו m מסת הגוף המשני.


עבור מסלולים פרבוליים והיפרבוליים מתקימים קשרים מעט שונים שיובאו להלן.

מסלול פרבולי

עבור מסלול פרבולי למשוואת קפלר צורה שונה מהמקרה של מסלול אליפטי. בבעיה בה הזוויות נמדדות ברדיאנים, המרחקים ביחידות אסטרונומיות והזמן בימים משוואת קפלר למסלול פרבולי ניתנת ע"י:

\frac{1}{3}\tan^{3}\Big(\frac{\nu}{2}\Big) + \tan\Big(\frac{\nu}{2}\Big)=\frac{\sqrt{M/M_{\odot}}}{\sqrt{2q^{3}}}k(t-T)

כאשר t הוא הזמן, T הזמן בו העצם עבר בפריאפסיס (הנקודה הקרובה ביותר בין שני הגופים), q המרחק בפריאפסיס ν היא האנומליה האמיתית, M סה"כ מסת שני הגופים, M_{\odot} היא מסת השמש ו k הינו קבוע הכבידה של גאוס (ביחידות של רדיאנים ליום) וניתן ע"י:

k=0.017202098950000

במסלול פרבולי הרדיוס וקטור ניתן ע"י:

r=q(1+\tan^{2}{\frac{\nu}{2}})

למשוואה זו ממעלה שלישית (באנומליה האמיתית) יש פיתרון אנליטי והוא יובא בפרק העוסק בפיתרון משוואת קפלר.

מסלול היפרבולי

עבור מסלול היפרבולי משוואת קפלר דומה במקצת למשוואה עבור המקרה האליפטי. בבעיה בה הזוויות נמדדות ברדיאנים, המרחקים ביחידות אסטרונומיות והזמן בימים משוואת קפלר למסלול היפרבולי ניתנת ע"י:

M=\zeta(t-T)=-F+e\,\sinh{F}

כאשר

\zeta=\frac{k}{a^{3/2}}\sqrt{\frac{M}{M_{\odot}}}

ו F היא האנומליה האקצנטרית עבור מסלול היפרבולי.

פיתרון משוואת קפלר

עבור מסלול מעגלי ופרבולי למשוואת קפלר פתרונות אנליטיים ואילו למסלול היפרבולי מתקיימים קשרים מעט שונים מאלו שהובאו כאן.

מסלול מעגלי

עבור מסלול מעגלי הפיתרון הוא פשוט מאחר ומתקיים:

\nu=\,M=\,E

מסלול אליפטי

בדרך כלל אנו מעוניניים למצוא את הזווית E בהינתן הזווית M. לבעיה זו אין פיתרון אנליטי ויש לעשות שימוש בטכניקות איטרטיביות שמאפשרות לנו להתקרב לפיתרון האמיתי (בדיוק גבוה ככל שנחפוץ). ישנן שיטות רבות לפיתרון משוואת קפלר. אחת הפופולריות ביותר הינה שימוש במשוואה:

E_{1}=E_{0}+\frac{M+e\,\sin{E_{0}}-E_{0}}{1-e\,\cos{E_{0}}}

במחזור הראשון אנו מתחילים עם ניחוש עבור הזווית E (למשל הצבת הזווית M) ומציבים אותו ב E0, ועתה אנו יכולים לחשב את E1 (שהוא קרוב טוב יותר לפיתרון) ולהציב אותו מחדש ב E0 וכך הלאה מספר פעמיים, עד שהתיקונים קטנים מהדיוק הנדרש.


מסלול פרבולי

עבור מסלול פרבולי קיים פיתרון אנליטי למשוואת קפלר.

אם נגדיר:

U=3\frac{\sqrt{M/M_{\odot}}}{\sqrt{2q^{3}}}k(t-T)

אזי ניתן לעשות שימוש בקשרים הבאים:

\tan{\beta}=\frac{2}{U}

\tan{\gamma}=\Big(\tan{\frac{\beta}{2}}\Big)^{1/3}

s=\frac{2}{\tan{2\gamma}}

ולבסוף למצוא את האנומליה האמיתית:

s=\tan{\frac{\nu}{2}}

מסלול היפרבולי

ניתן לפתור באופן דומה לפיתרון עבור המקרה האקצנטרי, אך יש לעשות שימוש בביטוי האיטרטיבי:

F_{1}=F_{0}+\frac{M-e\,\sinh{F_{0}}+F_{0}}{-1+e\,\cosh{F_{0}}}


פיתוח בטור לאקצנטריות נמוכה

עבור אקצנטריות נמוכה ניתן לרשום את האנומליה האמיתית כתלות באנומליה הממוצעת ע"י פיתוח לטור חזקות. לדוגמא:

\nu=M+2e\,\sin{M}+\frac{5}{4}e^{2}\,\sin{2M}+\frac{e^{3}}{12}(13\sin{3M}-3\sin{M})+\frac{e^{4}}{96}(103\sin{4M}-44\sin{2M})+...

המרה למערכת קורדינאטות קרטזית

הקורדינאטות של הגוף במערכת יחוס שביחס אליה ניתנים אלמנטי המסלול הם:

x=\,r[\cos(\nu+\omega)\cos(\Omega)-\sin(\nu+\omega)\cos(i)\sin(\Omega)]

y=\,r[\cos(\nu+\omega)\sin(\Omega)+\sin(\nu+\omega)\cos(i)\cos(\Omega)]

z=\,r\sin(\nu+\omega)\sin(i)

למשל עבור גופים במערכת השמש הקורדינאטת המתקבלות יהיו קורדינאטות הליוצנטריות (ביחס לשמש) לנקודת השוויון ולמילקה.

והנגזרות של הקורדינאטות ע"פ הזמן הן:

\dot{x}=\,x\frac{\dot{r}}{r}-r\dot{\nu}[\sin(\nu+\omega)\cos(\Omega)+\cos(\nu+\omega)\cos(i)\sin(\Omega)]


\dot{y}=\,y\frac{\dot{r}}{r}-r\dot{\nu}[\sin(\nu+\omega)\sin(\Omega)-\cos(\nu+\omega)\cos(i)\cos(\Omega)]


\dot{z}=\,z\frac{\dot{r}}{r}+r\dot{\nu}\cos(\nu+\omega)\sin(i)

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק