פרסציה

מתוך אסטרופדיה
(הופנה מהדף נקיפת ציר הסיבוב)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הדגמה גאומטרית של נקיפת ציר כדור הארץ. ציר הסיבוב של כדור הארץ נטוי בזווית של כ 23.5 מעלות ביחס לאנך למישור שעליו כדור הארץ מקיף את השמש (ראו: מישור המילקה) ומבצע תנועה חרוטית סביב האנך למישור ההקפה של כדור הארץ את השמש.

פרסציה או נקיפת ציר הסיבוב (באנגלית: Precession) ונוטציה (באנגלית: Nutation) הן מגוון של תנועות שבהן ציר הסיבוב של עצם שמיימי או מערכת (כגון: כוכב לכת וירח שלו או כוכב כפול) משנה את כיוונו במרחב, כפי שנמדד ביחס לכוכבים וגלקסיות רחוקות. כתוצאה מכך הפרסציה גורמת לשינוי במיקום נקודות השוויון ביחס לכוכבים וכן לשינוי במיקומם של הקטבים השמיימים ביחס לכוכבים ועל כן כוכבי הצפון מתחלפים (ראו להלן).

במקרה הפרטי של כדור הארץ פרסציה ונוטציה או נקיפת ציר הסיבוב של כדור הארץ הם השינויים בכיוון המרחבי של ציר הסיבוב של כדור הארץ סביב צירו, כפי שנמדד ביחס לכוכבים וגלקסיות רחוקות.


באופן כללי פרסציה היא תנועה "חרוטית" של ציר סיבוב של גוף או מערכת. הכוונה ב"תנועה חרוטית" היא שציר הסיבוב מתווה בקרוב חרוט. פרסציה יכולה להיגרם כתוצאה מהפעלת מומנט כח על גוף שצורתו איננה כשל כדור מושלם או ללא הפעלת מומנט כח קבוע על הגוף. פרסציה שבה לא פועל מומנט כח על המערכת נקראת פרסציה חופשית ותופעה זו מוסברת בהמשך.

האיור משמאל מדגים את תנועת הפרסציה של ציר הסיבוב של כדור הארץ - ציר הסיבוב נע לאורך הקו הירוק המקווקו המתווה מעגל קטן שרדיוסו כ 23.5 מעלות ובמחזור של כ-26,000 שנה.

כדור הארץ לדוגמא מבצע הן פרסציה חופשית (הידועה יותר בשם תנודות הקטבים) והן פרסציה כתוצאה ממומנט הכח המפעילים עליו השמש, הירח וכוכבי הלכת האחרים במערכת השמש. המאמר דן בכל סוגי הפרסציה הנ"ל. פרסציה איננה מוגבלת לגוף בודד. לדוגמא, מסלול הירח סביב מרכז הכובד של מערכת ארץ-ירח נטוי בזווית של כ-5 מעלות למישור המילקה ומבצע פרסציה במחזור של 18.6 שנה (ראו גם: ליקוי ירח, ליקוי חמה ומחזור הסארוס).

המונח פרסציה לעיתים מורחב גם עבור סוגי תנועה אחרים - לדוגמא: הפרצסיה של הפריאפסיס.

הפרסציה של כדור הארץ

ציר הסיבוב של כדור הארץ נטוי בזווית של כ-23.5 מעלות ביחס לאנך למישור ההקפה של כדור הארץ סביב השמש (המכונה גם מישור המילקה). הפרסציה של כדור הארץ הינה, בקירוב, תנועה "חרוטית" של ציר הסיבוב של הארץ ביחס לאנך למישור ההקפה של הארץ את השמש, במחזוריות של כ 25,725 שנה.

בשל כך, מישור המשווה של כדור הארץ (שמוגדר ע"י סיבוב הארץ סביב צירו) ומישור המילקה (שמוגדר ע"י סיבוב הארץ סביב השמש) נטויים זה לזה גם הם בזווית של כ-23.5 מעלות. נקודות החיתוך של שני המישורים הללו מגדירות את מערכת הקואורדינטות השמיימית וקובעות את עונות השנה. שני המישורים הללו נמצאים גם הם בתנועה. מישור המילקה משתנה כתוצאה מההשפעה הכבידתית של כוכבי הלכת על מסלול כדור הארץ. לעומת זאת מישור המשווה של כדור הארץ משתנה כתוצאה ממומנט הכח (torque) שמפעילים השמש, הירח וכוכבי הלכת על צורתו הלא כדורית (ראו: מערכת קואורדינאטות ארצית) של "כדור" הארץ. נהוג להפריד את מגוון ההשפעות הללו לשני חלקים הקרויים: פרסציה ירחית-שמשית' ונוטציה (ראו להלן).

פרסציה ירחית-שמשית

הפרסציה הינה תנועה מורכבת ויש לה רכיבים המשתנים במשך תקופות זמן קצרות וכאלו המשתנים במשך תקופות זמן ארוכות.

פרסציה ירחית-שמשית (באנגלית: Lunisolar Precession) הינו הרכיב בתנועת הפרסציה הכולל רק את התנועה החרוטית שממנה הופחתו כל התנודות בעלות המשרעת (אמפליטודה) נמוכה.

המחזור של הפרסציה הירחית שמשית הינו כ- 25,725 שנה, אך מחזור זה איננו קבוע (ראו הסבר פיזיקלי להלן) כתוצאה ממגוון סיבות, וכן המשרעת של הפרסציה משתנה.

נוטציה

נוטציה (באנגלית: Nutation) הינה הרכיב של הפרסציה שמכיל את כל יתר ההשפעות שמחזוריהן קצרים מ 18.6 שנה. ההשפעה העיקרית של הנוטציה הינה שינויים בכיוון ציר הסיבוב של הארץ ביחס לציר הממוצע עם מחזור של 18.6 שנה ומשרעת של כ 9 שניות קשת. אך הנוטציה מורכבת הרבה יותר כתוצאה ממגון ההשפעות הכבידתיות על צורתו המורכבת של כדור הארץ.

פרסציה כללית

חיבור סה"כ ההשפעות הללו של הפרסציה ירחית-שמשית והנוטציה קרוי פרצסיה כללית או פרסציה (באנגלית: General Precession) או נקיפת ציר הסיבוב של כדור הארץ.

הפרסציה גורמת להזזת כיוון ציר הסיבוב של כדור הארץ וכן להזזת נקודות החיתוך של מישור המילקה ומישור קו המשווה של כדור הארץ. נקודות אלו, הקרויות נקודות השוויון (Equinoxes), זזות (בשנת 2000) בשיעור של 5029.0966 שניות קשת לכל 100 שנים יוליאניות. שיעור התנועה המדויק משתנה עם הזמן.

נקודות השוויון וציר הסיבוב של כדור הארץ מגדירות את מערכת הקורדינאטות השמיימית. על כן, מאחר והפרסציה מזיזה את נקודות השוויון בשיעור ניכר של כ 1.45 מעלות במאה שנה או כ 52 שניות קשת בשנה ואילו מיקום הכוכבים בשמיים איננו משתנה באופן ניכר (ראו: תנועה עצמית) אזי הכוכבים למעשה זזים ביחס למערכת הקורדינאטות השמיימית. זו הסיבה שבעטייה מציינים את נקודת השוויון כאשר נוקבים בקורדינאטות של גוף על פני כיפת השמיים.

מאחר והפרסציה מזיזה את נקודת השוויון היא אחראית להבדל בין השנה הטרופית לשנה הכוכבית (ראו: שנה).

פרסציה פלנטרית

החלק של הפרצסיה הנובע מהשינויים במישור המילקה כתוצאה בעיקר מהשפעות כוכבי הלכת על מסלול כדור הארץ נקרא פרצסיה פלנטרית (באנגלית: Planetary Precession) ותרומתו בקירוב היא הזזת נקודת שוויון האביב (Vernal Equinox) בכ-12 שניות קשת כל 100 שנה, והקטנת נטיית מישור המילקה בשיעור של כ-47 שניות קשת כל 100 שנה. לעומת זאת, הפרצסיה הכללית גורמת לתנועה של נקודת שוויון האביב (ביחס לכוכבים הרחוקים) בשיעור של כ 50 שניות קשת בשנה, בממוצע.

היסטוריה

העדות הראשונה לקיומה של הפרסציה התגלתה ע"י האסטרונום היווני היפרכוס (Hipparchus) במאה השנייה לפני הספירה. היפרכוס קיטלג את מיקומי הכוכבים הבהירים בשמיים והשווה אותם למדידות של אסטרונומים יוונים שנערכו כ-300 שנה קודם לכן. היפרכוס מצא כי נקודת שוויון האביב נעה בכ-46 שניות קשת בשנה, בהתאמה יפה עם הערך הנמדד כיום, 50.26 שניות קשת בשנה. 300 שנה אחריו חישב פתולמי את נדידת נקודת שוויון האביב, על סמך תצפיות שביצע, וקיבל תזווה של כ-36 שניות קשת בשנה, ערך הנופל בדיוקו מזה שהתקבל ע"י היפרכוס. על מנת לשלב את תנועת הפרצסיה במודל הגאוצנטרי שהיה מקובל באותם ימים, ועל פיו כוכבי הלכת והשמש מקיפים את כדור הארץ, היפרכוס הוסיף "גלגל נוסף" המניע את הספרה שבה שוכנים הכוכבים במחזוריות הפרצסיה.

ההסבר הפיזיקלי המודרני לפרסציה ניתן רק אחרי פירסום המכניקה הניוטונית.

מיקום הקוטב השמימי הצפוני על פני כיפת השמיים

מיקום ציר הסיבוב הצפוני של כדור הארץ על פני כיפת השמיים ביחס לכוכבים. ניתן לראות שכיום כוכב הצפון הינו פולריס אך בעבר ובעתיד יוחלף פולריס ע"י "כוכבי צפון" אחרים.
תמונת תקריב של מיקום ציר הסיבוב הצפוני של כדור הארץ ביחס לכוכבים במאות השנים האחרונות והבאות. בשנת 2100 בקרוב יחלוף ציר הסיבוב הצפוני בנקודה הקרובה ביותר לכוכב הצפון.

כתוצאה מהפרסציה הקוטב השמיימי הצפוני והקוטב השמיימי הדרומי נעים על פני כיפת השמיים וכוכבי הצפון והדרום מתחלפים. באיור משמאל נראה מיקומו של הקוטב הצפוני השמיימי כתלות בזמן על רקע הכוכבים באזור הקוטב השמיימי הצפוני. במפה מסומנים כוכבים עד בהירות 5 והצבע מסמן את הסוג הספקטרלי של הכוכב. ניתן לראות, כי כיום, בתחילת המאה ה-21 (+2000 באיור), כוכב הצפון הינו פולריס המצוי בקצה היצול של העגלה הקטנה. לפני כ-1500 שנה חלף הכוכב "כוכב" (בטא בקבוצת העגלה הקטנה) בקרבת הקוטב השמיימי הצפוני ולפני כ-5000 שנה היה הכוכב "תובן" (אלפא בקבוצת דרקון) בקוטב השמיימי הצפוני. עוד באיור ניתן לראות כי תנועת הפרצסיה לא חוזרת על עצמה בדיוק מושלם, וכן אורך המחזור שלה משתנה מעט (ראו להלן).

באיור התחתון משמאל ניתן לראות "תמונת תקריב" של הכוכבים באזור הקוטב השמיימי הצפוני ואת מיקומו של הקוטב בין שנת 1000 לשנת 3000 (באיור מוצגים כוכבים עד בהירות 7.5 והצבע מציין את הסוג הספקטרלי של הכוכב). באיור מסומנים הכוכבים אלפא, דלתא ואפסילון ביצול של העגלה הקטנה.

פרסציה של גופים אחרים במערכת השמש

תנועת הפרסציה שכיחה מאד במערכת השמש ומחוצה לה. במערכת השמש גופים רבים וכן מערכות רבות של כוכב לכת וירח מבצעים פרסציה. לדוגמא מסלול הירח סביב כדור הארץ נטוי בזווית של כ-5 מעלות ביחס למישור המילקה. כתוצאה מכח הכבידה של השמש על מערכת ארץ-ירח, מסלול הירח מבצע פרסציה במחזור של 18.61 שנה. משמעות הפרסציה הנ"ל היא שקו הקשרים במסלול הירח נע בשיעור של 19.3 מעלות בשנה. מחזוריות זו גורמת למחזוריות של ליקויי החמה וליקויי הירח (ראו: מחזור הסארוס) וכן לתנודות מחזוריות בפרסציה של כדור הארץ (ראו נוטציה במאמר זה). בהקשר זה מישור לפלס (באנגלית: Laplace Plane) הינו המישור הממוצע של מסלול לווין שעובר פרסציה.

מסלוליהם של כל הירחים סביב כוכבי הלכת שלהם הנטויים ביחס למישור ההקפה של כוכב הלכת סביב השמש, מבצעים גם הם פרסציה. למשל זמני מחזור הפרסציה של המסלול של הירחים הגליליאנים של צדק, איו, אירופה, גנימד וקליסטו הם 7.420, 30.184, 132.654 ו- 338.82 שנה בהתאמה.

גם כוכבי הלכת עצמם מבצעים פרסציה כתוצאה מנטיית ציר הסיבוב שלהם ביחס למישור שבו הם מקיפים את השמש. לדוגמא מחזור הפרסציה של כוכב הלכת מאדים הוא בערך 165,000 שנה (ראו גם: משימת ויקינג למאדים).

הסבר פיזיקלי

מחזור הפרסציה הממוצע (באלפי שנים) כתלות בזמן במיליארדי שנה. האבולוציה העיקרית במחזור הפרסציה נובעת מהתרחקות הירח מכדור הארץ. הגרף מבוסס על קרוב מתוך האינטגרציה של Laskar et al. 2004.
נטיית ציר הסיבוב של כדור הארץ סביב צירו כתלות בזמן במיליוני שנים, בין -250 מיליון שנה ל +250 מיליון שנה. הקו האפור מראה את נטיית כדור הארץ האמיתית, הקו השחור מראה את נטיית הציר כפי שמוצעה על תקופות של חצי מיליון שנה. מתוך Laskar et al. 2004.
מרחק הירח (ברדיוסי כדור הארץ) מכדור הארץ כתלות בזמן (במיליארדי שנה). למרחק הירח מכדור הארץ השפעה ניכרת על הפרסציה ויש להביא אותו בחשבון בעת מידול מפורט של הבעיה. הגרף מבוסס על קרוב מתוך האינטגרציה של Laskar et al. 2004.


פרסציה

לכל גוף המסתובב סביב צירו יש תנע זוויתי - בדומה לתנועה בקו ישר שעל מנת להאיץ או להאיט אותה יש צורך להפעיל כח, כך גם על מנת להאיץ או להאיט תנועה סיבובית יש להפעיל מומנט כח. לדוגמא, בהעדר כח חיצוני, ג'ירוסקופ שומר על כוונו כתוצאה מסיבוב סביב צירו.

כאשר פועל כח על גוף שאיננו כדור מושלם, הכח הנ"ל יכול להפעיל מומנט על הגוף. למשל, כדור הארץ ניתן לתאור בקרוב ע"י אליפסואיד סיבוב (בקרוב כדור שהוא מעט פחוס בקטביו), כך שכדור הארץ מעט תפוח באזור קו המשווה שלו. למעשה רדיוס כדור הארץ בקו המשווה גדול בכ-20 ק"מ מרדיוס כדור הארץ בקטבים. מאחר והירח, השמש וכוכבי הלכת אינם נמצאים (רוב הזמן) על גבי מישור המשווה של כדור הארץ, הם מפעילים כח על "התפיחה" באזור קו המשווה של כדור הארץ. הכח הנ"ל "שואף" ליישר את ציר הסיבוב של הגוף המסתובב אך הדבר איננו מתאפשר כתוצאה מחוק שימור התנע הזוויתי. התוצאה הסופית של מומנט הכח היא שהגוף יבצע תנועת פרסציה סביב הציר שמאונך לכיוון שבו פועל מומנט הכח.


התדירות הזוויתית של הפרסציה, Ω, של גוף המסתובב בתדירות זוויתית ω כתוצאה מהפעלת מומנט כח ע"י אינטגרציה של כל הכוחות הפועלים על כל החלקים בגוף מתוארת עבור גוף שצורתו אליפסואיד סיבוב פחוס (באנגלית: Oblate, אליפסואיד ששנים מציריו הראשיים שווים והציר השלישי קצר מהם מעט) שעליו מופעל מומנט כח ע"י גוף בעל מסה M, הנמצא במרחק R, ובזווית i ביחס למישור המשווה של הגוף:


\Omega=\frac{3GM\sin(2i)}{2\omega R^{3}}\Big(1-\frac{A}{C}\Big)

כאשר G הינו קבוע הכבידה העולמי, ω תדירות הסיבוב הזוויתית של הגוף, R המרחק בין הגופים, C הינו מומנט ההתמד ביחס לציר הסיבוב של הגוף, A הינו מומנט ההתמד של הגוף על גבי ציר הניצב לציר הסיבוב של הגוף.

עבור כדור הארץ, החישוב הנ"ל איננו פשוט מאחר ויש להביא בחשבון את השפעת השמש, הירח וכוכבי הלכת וכן להביא בחשבון את המסלולים האליפטיים של הירח ושל כדור הארץ וכן את העובדה שמישור ההקפה של הירח סביב כדור הארץ איננו קבוע, כי הוא מבצע פרסציה בעצמו במחזור של 18.6 שנה. במידה ומבצעים את החישוב המדויק, אזי נקבל כי מחזור הפרסציה של כדור הארץ הינו 25,725 שנה.

כדאי לציין כי A ו C קשורים למומנט הכבידתי השני, J2 ע"י:

J_{2}=\frac{C-A}{m r_{p}^{2}}

כאשר m היא מסת הגוף ו rp הינו רדיוס הגוף לאורך ציר הסיבוב.


ממונטי הכבידה Jm מוגדרים ע"י פיתוח הפוטנציאל הכבידתי של גוף בטור מהטיפוס:

\Phi(r,\theta)=\frac{-Gm}{r}\Big[1-\Sigma_{n=1}^{\infty}\Big(\frac{r_{e}}{r}\Big)^{2n} J_{2n}P_{2n}(\cos{\theta})\Big]

כאשר re הינו רדיוס הגוף בניצב לציר הסיבוב (הרדיוס בקו המשווה) ו P2n הינם פולינומי לג'אנדר. למשל, P2 ניתן ע"י:

P_{2}=\frac{1}{2}(3\cos^{2}{\theta}-1)

פרסציה חופשית

תנודות הקוטב של כדור הארץ. הגרף מראה את מיקום הקוטב (ציר הסיבוב) של כדור הארץ ביחס לציר הסיבוב הממוצע בין השנים 1997 ל 2002.

פרסציה חופשית (באנגלית: Free Precession) או נוטציה חופשית (באנגלית: Free Nutation) הינה כאמור פרסציה שבה לא פועל מומנט כח קבוע על הגוף. באופן כללי כאשר וקטור התנע הזוויתי של גוף איננו מקביל לאחד משלושת ציריו הראשיים אזי הגוף יבצע תנועת פרסציה חופשית.

תנועת פרסציה חופשית נצפית בכדור הארץ (ראו מאמר מורחב על: תנודות הקטבים) - באיור משמאל ניתן לראות את השפעת הפרסציה החופשית על מיקום ציר הסיבוב של כדור הארץ ביחס לכדור המוצק כתלות בזמן בשנים האחרונות.

הסבר מתמטי

עבור גוף צפיד (גוף שכל חלקיו אינם נעים זה ביחס לזה, קרי גוף קשיח) ניתן לרשום את משוואת התנועה של הגוף ע"י:

\frac{dL'}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{L}=\vec{N}

כאשר L הינו וקטור התנע הזוויתי של הגוף ω הינו וקטור התדירות הזוויתית של הגוף ו N הינו וקטור מומנט הכח הפועל על הגוף. האיבר \frac{dL'}{dt} מייצג את תרומת השינוי בזמן של L ללא התחשבות בשינוי כוון ציר הסיבוב, ואילו \vec{\omega}\times\vec{L} מייצג את תרומת השינוי בזמן של כוון הציר.

ממשוואה זו ניתן לחלץ את משוואות אוילר עבור כל אחד מהצירים הראשיים של הגוף המסומנים עם אינדקסים 1, 2 ו-3.

I_{1}\dot{\omega}_{1}-\omega_{2}\omega_{3}(I_{2}-I_{3})=\,N_{1}

I_{2}\dot{\omega}_{2}-\omega_{3}\omega_{1}(I_{3}-I_{1})=\,N_{2}

I_{3}\dot{\omega}_{3}-\omega_{1}\omega_{2}(I_{1}-I_{2})=N_{3}

כאשר I1, I2 ו- I3 הם מומנטי ההתמד של הגוף הצפיד לאורך שלושת ציריו הראשיים. ω הם תדירויות הסיבוב של הגוף סביב כל אחד משלושת הצירים הראשיים, ו N הם מומנטי הכח הפועלים על כל אחד מהצירים הראשיים.

ניתן לפתור את המשוואות הנ"ל עבור המקרה שבו לא פועלים על הגוף מומנטי כח חיצוניים N=0, אזי עבור גוף שבו ממונטי ההתמד I_{1}=I_{2} (למשל אליפסואיד פחוס: Oblate) ובעל תדירות סיבוב זוויתי ω3 סביב צירו, תדירות הסיבוב של הפרסציה החופשית Ω המתקבלת היא:

\Omega=\frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}}\omega_{3}

חישוב השפעת הפרסציה והנוטציה על קורדינאטות שמיימיות

על מנת להמיר קורדינאטות שמיימיות ממערכות שונות של נקודת השוויון (Equinox) יש לתקן עבור השפעת הפרסציה והנוטציה של כדור הארץ. בד"כ מבדילים בין שתי סוגי קורדינאטות ביחס לנקודת השוויון:

  • מערכת קורדינאטות עבור נקודת השוויון הממוצעת - במקרה זה לוקחים בחשבון את הפרסציה אך מזניחים את השפעת הנוטציה (למשל מערכת הקורדינאטות J2000.0).
  • מערכת קורדינאטות עבור נקודת השוויון האמיתי - במקרה זה לוקחים בחשבון את הפרסציה והנוטציה (לדוגמא: נקודת השוויון של התאריך, Equinox of date).

פרסציה

זוויות הפרסציה המצטברות:

z_{A}=\,(2306.^{''}2181 + 1.39656T-0.000139T^{2})t + (1.^{''}09468+0.000066T)t^{2} + 0.^{''}018203t^{3}

\theta_{A}=\,(2004.^{''}3109-0.85330T-0.000217T^{2})t+(-0.^{''}42665-0.000217T)t^{2}-0.^{''}041833t^{3}

\zeta_{A}=\,(2306.^{''}2181+1.39656T-0.000139T^{2})t+(0.^{''}30188-0.000344T)t^{2} +0.^{''}017998t^{3}

p_{A}=\,(5029.^{''}0966+2.22226T-0.000042T^{2})t+(1.^{''}11113-0.000042T)t^{2}-0.^{''}000006t^{3}

\pi_{A}=\,(47.^{''}0029-0.06603T+0.000598T^{2})t + (-0.^{''}03302+0.000598T)t^{2}+0.^{''}000060t^{3}

כאשר

T=\frac{JD_{F}-2451545.0}{36525.0}

t=\frac{JD_{D}-JD_{F}}{36525.0}

נציין כי הפרסציה בקו אורך אקליפטי ניתנת ע"י:

p=\,\frac{d(p_{A})}{dt}\Big|_{t=0}=5029.^{''}0966+2.22226T-0.000042T^{2}

הפרסציה בעליה ישרה (קו אורך שמיימי):

m=\,\frac{d(\zeta_{A}+z_{A})}{dt}\Big|_{t=0}=4612.^{''}4362+2.79312T-0.000278T^{2}

הפרסציה בנטייה (קו רוחב שמיימי):

n=\,\frac{d(\theta_{A})}{dt}\Big|_{t=0}=2004.^{''}3109-0.85330T-0.000217T^{2}

וקצב הסיבוב של מישור המילקה:

\pi=\,\frac{(\pi_{A})}{dt}\Big|_{t=0}=47.^{''}0029-0.06603T+0.000598T^{2}

על מנת להמיר קו אורך ורוחב שמימי α0 ו δ0 (עליה ישרה ונטיה בהתאמה) המתיחסות לנקודת השוויון ביום היוליאני JDF, לקורדינאטות, α ו δ המתיחסות לנקודת השוויון ביום יוליאני JDD, ניתן לעשות שימוש בנוסחאות למשולשים כדוריים:


\sin(\alpha-z_{A})\cos(\delta)=\,\sin(\alpha_{0}+\zeta_{A})\cos(\delta_{0})

\cos(\alpha-z_{A})\cos(\delta)=\,\cos(\alpha_{0}+\zeta_{A})\cos(\theta_{A})\cos(\delta_{0})-\sin(\theta_{0})\sin(\delta_{0})

\sin(\delta)=\,\cos(\alpha_{0}+\zeta_{A})\sin(\theta_{A})\cos(\delta_{0})+\cos(\theta_{A})\sin(\delta_{0})


לחילופין ניתן לעשות שימוש במטריצת סיבוב:

P=\begin{bmatrix}\cos{z_{A}}\cos{\theta_{A}}\cos{\zeta_{A}}-\sin{z_{A}}\sin{\zeta_{A}}&-\cos{z_{A}}\cos{\theta_{A}}\sin{\zeta_{A}}-\sin{z_{A}}\cos{\zeta_{A}}&-\cos{z_{A}}\sin{\theta_{A}}\\ \sin{z_{A}}\cos{\theta_{A}}\cos{\zeta_{A}}+\cos{z_{A}}\sin{\zeta_{A}} & -\sin{z_{A}}\cos{\theta_{A}}\sin{\zeta_{A}}+\cos{z_{A}}\cos{\zeta_{A}} & -\sin{z_{A}}\sin{\theta_{A}}\\ \sin{\theta_{A}}\cos{\zeta_{A}} & -\sin{\theta_{A}}\sin{\zeta_{A}} & \cos{\theta_{A}}\end{bmatrix}


ו

r=P\,r_{0}

או

r_{0}=P^{-1}\,r

נוטציה

בחישוב הנוטציה מבדילים בין שני גדלים:

  • נוטציה בקו האורך (באנגלית: Nutation in Longitude) מסומנת ב Δψ היא הרכיב של הנוטציה כפי שנמדד בקו האורך של מערכת הקורדינאטות האקליפטית.
  • נוטציה בנטיית הציר (באנגלית: Nutation in Obliquity) מסומנת ב Δε היא רכיב הנוטציה בשינוי נטיית הציר של כדור הארץ.

חישוב מלא של השפעת הנוטציה אפשרי בדיוק רב והוא כולל חישוב טורים ארוכים יחסית. תאוריה מעודכנת ומדויקת מאד של הנוטציה נקראת: תאוריית הנוטציה של האיגוד האסטרונומי הבין-לאומי 2000/2006 -2000/2006 IAU theory of Nutation וניתן למצוא אותה ב: Wallace & Capitaine 2006.


ניתן לחשב את הנוטציה בקרוב של כשניית קשת אחת ע"י הנוסחאות:

\Delta\psi=-17.^{''}28\sin(125.^{\circ}0-0.^{\circ}05295d)-1.^{''}44\sin(200.^{\circ}9+1.^{\circ}97129d)

\Delta\epsilon=+9.^{''}36\cos(125.^{\circ}0-0.^{\circ}05295d)+0.^{''}72\cos(200.^{\circ}9+1.^{\circ}97129d)

כאשר d הינו מספר הימים מאז ימים יוליאנים 2451545.0 ו ε היא נטיית המילקה ביום היוליאני הנ"ל.

מכאן ניתן לראות כי השפעתה העיקרית של הנוטציה היא ביצוע של מעין תנועה אליפטית סביב הציר הממוצע עם חצי ציר ארוך של כ 17 שניות קשת וחצי ציר קצר של כ 9 שניות קשת.

על מנת להפעיל את הנוטציה על הקורדינאטות ניתן לעשות שימוש במטריצת הסיבוב המקורבת:

N=\begin{bmatrix} 1 & -\Delta\psi\cos{\epsilon} & -\Delta\psi\sin{\epsilon} \\ +\Delta\psi\cos{\epsilon} & 1 & -\Delta\epsilon \\+\Delta\psi\sin{\epsilon} & +\Delta\epsilon & 1 \end{bmatrix}

ואז בהינתן הקורדינאטות השמיימיות במערכת משוונית בתצורה וקטורית (קוסינוסי כיוון), r0, הקורדינאטות המתוקנות לנוטציה r ניתנות ע"י הפעלת מטריצת הסיבוב:

r=N\,r_{0}

כאמור, מטריצת הסיבוב הנ"ל הינה מקורבת. לדיוק גבוה מכמה אלפיות שניית קשת יש לעשות שימוש במטריצת סיבוב מורכבת יותר.


הנוטציה בקו האורך היא שימושית גם על מנת לחשב את השעה הסידרלית הנראית.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק