עומק אופטי

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

עומק אופטי (באנגלית: Optical Depth) הינו גודל חסר ממדים המהווה מדד למספר הפיזורים והבליעות שעוברת קרינה אלקטרומגנטית (או כל שטף של חלקיקים) בעת מעבר דרך תווך. על כן עומק אופטי מהווה אומדן להנחתה של עוצמת הקרינה לאחר שהיא עוברת דרך תווך.

הגדרה

העומק האופטי מוגדר כאינטגרל של חתך הפעולה לפיזור או בליעה של חלקיק בודד, σ, מוכפל במספר החלקיקים המפזרים ליחידת נפח (צפיפות מספר), n, לאורך קו הראייה, dr. לצפיפות המספר יחידות של אחד חלקי נפח ואילו לחתך הפעולה יחידות של שטח. לסירוגין ניתן להגדיר את העומק האופטי באמצעות מקדם הבליעה או מקדם הבליעה ליחידת מסה (באנגלית Opacity) המסומן באות κ (יחידות של שטח חלקי מסה) וצפיפות החומר ρ (יחידות של מסה ליחידת נפח):

\tau=\,\int{\kappa \rho dr}=\int{\sigma n dr}

העומק האופטי קשור גם למהלך החופשי הממוצע (באנגלית: Mean Free Path) שמוגדר כ:

l=\,\frac{1}{n\sigma}=\,\frac{1}{\kappa \rho}

המהלך החופשי הממוצע מציין את המרחק הממוצע שעובר החלקיק או הפוטון בין שני פיזורים עוקבים.

בהינתן תווך בעל עומק אופטי τ שטף הקרינה ידעך כתוצאה מבליעות ופיזורים. עוצמת ההארה הנראית, I_{\lambda}(r), קשורה לעוצמת ההארה שנפלטה מהמקור, I_{\lambda}(0), ע"י:

I_{\lambda}(r)=\,I_{\lambda}(0)e^{-\tau_{\lambda}}

כאשר τλ הינו העומק האופטי באורך גל λ לאורך קו הראייה.

מקדם הבליעה

לעיתים נהוג לסמן:

K=\kappa\rho=\,n\sigma

כאשר K קרוי מקדם ההכחדה (באנגלית: Extinction Coefficient).

נהוג לעיתים לעשות שימוש במקדם בליעה ממוצע וקיימים מספר דרכים למצע את מקדם הבליעה.

הבליעה הממוצעת של רוסלנד

הבליעה הממוצעת של רוסלנד (באנגלית: Rosseland Mean Opacity) ומסומן ב <\kappa>_{R}, מוגדרת ע"י:

\frac{1}{<\kappa>_{R}}=\,\frac{1}{L}\int_{0}^{\infty}{\frac{L_{\nu}}{\kappa_{\nu}}d\nu}

כאשר κν הינו מקדם הבליעה הסגולי ליחידת תדר, L הינה הבהירות הכללית ו Lν הינה הבהירות הסגולית ליחידת תדר (אנרגיה ליחידת זמן ליחידת שטח ליחידת תדר לסטרדיאן).

הבליעה הממוצעת של צ'אנדראסקר

הבליעה הממוצעת של צ'אנדראסקר (באנגלית: Chandrasekhar Mean Opacity) מוגדרת ע"י:

<\kappa>=\,\frac{1}{F}\int_{0}^{\infty}{F_{\nu}\kappa_{\nu}d\nu}

כאשר F הינו השטף הכללי ו Fν הינו השטף הסגולי ליחידת תדר.

מקדם הבליעה של קרמר

מקדם הבליעה של קרמר (באנגלית: Kramer's Opacity) הינו מקדם הבליעה כתוצאה מבליעה ע"י אלקטרונים חופשיים (ראו: קרינת עצר).

מקדם הבליעה של התהליך הנ"ל, αff, עבור המקרה שבו התפלגות המהירות של האלקטרונים ניתנת ע"י התפלגות מקסוול, ניתן ע"י:

\alpha_{ff}(\omega)=\,\frac{j(\omega)}{B(\omega)}=\,\sqrt{\frac{32\pi^{3}}{3}}\frac{2\pi Z^{2}e^{2}}{hc}\sqrt{\frac{m_{e}c^{2}}{k_{B}T}}\Big(\frac{c}{\omega}\Big)^{3}n^{2}\sigma_{T}(1-e^{-h\omega/(2\pi k_{B}T)})

ומקדם הבליעה של קרמר (Kramer's Opacity) ניתן ע"י:

\kappa_{ff}\equiv\frac{\alpha_{ff}}{\rho}

כאשר ρ צפיפות החומר (ראו גם: עומק אופטי).

מקדם בליעה זה היננו רלוונטי למשל בתוככי כוכבים. קרוב למקדם הבליעה של קרמר ניתן ע"י:

\kappa_{ff}\approx 10^{23} T^{-7/2} \frac{\rho}{\mu_{e}\mu_{i}}<Z>^{2}~{\rm cm}^{2}\,{\rm gr}^{-1}

כאשר μe ו μi הינם המשקלים המולקולרים הממוצעים של האלקטרונים והיונים בהתאמה, <Z> הינו המטען הממוצע של הגרעינים ו T הטמפרטורה.

משוואת הולכת הקרינה

משוואת הולכת הקרינה (באנגלית: Radiative Transfer Equation) הינה משוואה המקשרת בין סה"כ הבליעות והפליטות בעת מעבר של קרינה דרך תווך:

\frac{dI_{\nu}}{dr}=\,J_{\nu}-\kappa_{\nu}\rho I_{\nu}

כאשר r הינו המרחק, Jν הינה אומדן הפליטה (באנגלית: Emissivity) הנמדדת ביחידות של אנרגיה ליחידת נפח ליחידת זמן ליחידת זווית מרחבית ו Iν הינה העוצמה הסגולית (אנרגיה ליחידת שטח ליחידת זמן ליחידת זווית מרחבית ליחידת תדר).

דוגמאות אסטרופיסיקליות

העומק האופטי של פוטוספרה של כוכב

ניתן להראות כי העומק האופטי בפוטוספרה של כוכב (ראו גם: השמש) שבו הטמפרטורה של הפוטוספרה שווה לטמפרטורה האפקטיבית של הכוכב (ראו גם: קרינת גוף שחור) הינו:

\tau=\,\frac{2}{3}

העומק האופטי וזמן הדיפוזיה של פוטונים

זמן הדיפוזיה של פוטונים מכדור ברדיוס R וצפיפות אחידה ρ ניתן ע"י:

t_{diff}=\,\frac{3R^{2}}{\pi^{2}c}\rho \kappa=\,\frac{9\kappa M}{4\pi^{3} c R}

כאשר c הינה מהירות האור ו κ הינו מקדם הבליעה של רוסלנד.

העומק האופטי של פריצת ההלם

ניתן לקבל את העומק האופטי שבו גל ההלם (שוק) של סופרנובה פורץ ממעטפת הכוכב מהשוואת זמן הדיפוזיה של הפוטונים:

\approx \frac{\tau_{s}\Delta}{c}

עם זמן האדווקציה (הסעה של חומר):

\approx \frac{\Delta}{v}

כאשר Δ הינו עובי ההלם, c הינה מהירות האור, v הינה המהירות במעלה ההלם (upstream) ו τs הינו העומק האופטי שבו פורץ גל ההלם. מהשוואת שני הזמנים הללו ניתן לקבל כי:

\tau_{s}\approx \frac{c}{v}

העומק האופטי בתחום הרדיו ע"י בליעה של אלקטרונים חופשיים

נוסחא שימושית לעומק האופטי בתחום קרינת הרדיו ע"י אלקטרונים חופשיים (ראו: קרינת עצר) ניתן ע"י:

\tau=\,8.2\times10^{-2}T^{-1.35}\Big(\frac{\nu}{1\,{\rm GHz}}\Big)^{-2.1} EM

כאשר T הטמפרטורה של האלקטרונים בקלווין, ν תדירות הקרינה ו EM הינו אומדן הפליטה (באנגלית: Emission Measure) שמוגדר ע"י:

EM=\,\int_{r}{n_{e}^{2}dr}

כאשר r הינו המרחק לאורך קו הראייה ו ne הינה צפיפות המספר של האלקטרונים החופשיים (יחידות של 1 חלקי נפח). אומדן הפליטה נמדד בד"כ ביחידות של פרסק חלקי ס"מ בחזקה השישית ({\rm pc\,cm}^{-6}). שימו לב, מאחר ובליעה ופליטת ע"י התהליך של קרינת עצר תלוי בצפיפות של האלקטרונים ובצפיפות של היונים, הנוסחא האחרונה מניחה כי מספר האלקטרונים שווה למספר היונים.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק