עידוש כבידתי

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
עדשת הכבידה SDSS1004+4112 - עידוש כבידתי של קוואזר וגלקסיות ע"י צביר גלקסיות. בתמונה ניתן להבחין בצביר גלקסיות שבסביבתו מספר דמויות מעוותות של גלקסיות שעודשו ע"י הצביר וכן 4 דמויות בהירות של אותו קוואזר שגם הוא עודש ע"י הצביר. למעשה דמות חמישית של הקוואזר מתחבאת מאחורי הגלקסיה המרכזית בצביר. צילום: טלסקופ החלל ע"ש האבל, מנהלת החלל והתעופה של ארה"ב, קרן שרון וערן אופק.

עידוש כבידתי (באנגלית: Gravitational Lensing) הוא מגוון של תופעות אסטרופיזיקליות הקשורות ב"עיקום" מסלול קרני האור של עצם מרוחק (למשל, קוואזר, כוכב או גלקסיה) כתוצאה משדה כבידה של מסה או מסות כלשהן המצויות בין המקור לצופה (למשל, צביר גלקסיות, כוכב, גלקסיה). המסות המעדשות נקראות עדשות כבידה (באנגלית: Gravitational Lens). עדשת כבידה יכולה לגרום למגוון תופעות החל מהסטת המיקום של דמות שנמצאת מאחורי העדשה (ראו גם: עיוות כבידתי של מסלול קרני האור), יצירת מספר דמויות של אותו המקור (ראו לדוגמא תמונה משמאל), עיכוב בזמן ההגעה של קרני האור המגיעות מהמקור, הגברת הבהירות הכללית של המקור, עיוות הדמות של המקור ועוד.

תופעת העידוש הכבידתי היתה אחת התחזיות הבסיסיות של תורת היחסות הכללית של אלברט אינשטיין. לעידוש כבידתי שימושים אסטרופיזיקליים רבים, הבולטים שבהם הם מדידת מסה והתפלגות המסה והמסה האפלה בגלקסיות וצבירי גלקסיות, מדידת הפרמטרים הקוסמולוגים של היקום (ראו: המפץ הגדול וחוק האבל) וחיפוש כוכבי לכת מחוץ למערכת השמש.

היסטוריה

תופעת העידוש הכבידתי נחזתה ע"י אלברט אינשטיין בשנת 1915, במסגרת תורת הכבידה היחסותית שלו הידועה גם בשם תורת היחסות הכללית (General Relativity). על פי תורת היחסות הכללית, נוכחות של מסה מעקמת את המרחב ועקמומיות המרחב משפיעה על תנועתן של מסות במרחב ותנועתו של האור. על פי עיקרון פרמה (ראו גם: שבירת אור) אור נע במסלולים שבהם הזמן הדרוש להגיע מנקודה אחת לשנייה הינו מינימלי (באופן כללי יותר אקסטרמום מקומי). המשמעות בפועל של העיקום הנ"ל היא שבמרחב עקום המסלול שבו אור נע על מנת להגיע מנקודה אחת לנקודה שנייה בפרק הזמן הקצר ביותר אינו בהכרח "קו ישר".

אם כן, בנוכחות מסה המרחב מתעקם וקרני האור נעות במסלולים מעוקמים. אינשטיין חזה כי קרני אור מכוכב רחוק שיעברו בסמוך לשפת השמש יוסטו מעט ממסלולן וייראו לנו כמגיעות מנקודה שמוזזת מעט ממיקומו האמיתי של הכוכב. עבור כוכב הנמצא בקרבת שפת השמש שיעור ההסטה הנ"ל הינו קטן (כ 1.74 שניות קשת) אך נמדד לראשונה בניסוי המפורסם של סר ארתור אדינגטון, בזמן ליקוי חמה מלא, בשנת 1919. מאז אושרה התופעה בדיוק גבוה במגוון רחב של ניסויים (ראו גם עיוות כבידתי של מסלול קרני האור).

במקרים מסוימים תופעת העידוש הכבידתי יכולה ליצור מספר דמויות של אותו מקור אור. בשנות ה-30 אינשטיין העריך, כי יהיה כמעט בלתי אפשרי לגלות עצמים כאלו מאחר והסיכוי לכך שכוכב יעדש כוכב הנמצא מאחוריו הוא בערך אחד למיליון, קרי יש לעקוב אחר עוצמת האור של כמיליון כוכבים (הטכנולוגיה פתרה לבסוף בעיה זו). בנוסף, בהתבסס על המסה המוערכת של גלקסיות באותה עת, אינשטיין העריך כי גלקסיה שתעדש גלקסיה אחרת תיצור דמויות שמרחקן הזוויתי זו מזו יהיה קטן הרבה יותר מכושר ההפרדה הזוויתי של טלסקופים אופטיים. אך עם הגילוי של החומר האפל הוברר כי מסתן של גלקסיות גדולה הרבה יותר ממה שהוערך קודם לכן ועל כן המרחק הזוויתי בין הדמויות יהיה כשניית קשת ועל כן ניתן לגילוי באמצעות טלסקופים קיימים.

בשנת 1979 התגלה הקוואזר המעודש הראשון, Q0957+561 כצמד של שני קוואזרים במרחק זוויתי של 6 שניות קשת זה מזה. שני הקוואזרים הראו ספקטרום כמעט זהה ובנוסף תצפיות רדיו בהפרדה זוויתית גבוהה הראו כי לשני העצמים מורפולוגיה זהה בתחום הרדיו (עד כדי "היפוך" הדמויות המתקבל כתוצאה מעידוש כבידתי). בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20 התגלו המקרים הראשונים של עידוש כבידתי על ידי צבירי גלקסיות (ראו תמונה בראש הדף).

הסבר פיזיקלי

תופעת העידוש הכבידתי עשויה לגרום לשלל תופעות. באופן גס ניתן לחלק את תופעת העידוש הכבידתי לשני תחומים: עידוש כבידתי חזק (באנגלית: Strong Gravitational Lensing) ועידוש כבידתי חלש (באנגלית: Weak Gravitational Lensing). בתחום החלש, מיקום (על פני כיפת השמיים), בהירות וצורת הדמות המעודשת עשוי להשתנות מעט. לעומת זאת בתחום החזק עשויות להופיע מספר דמויות של אותו המקור. בנוסף, בתחום החזק, מיקום הדמות, בהירותן וצורתן עשויות להיות שונות מאד מאלו של המקור.

עידוש כבידתי חלש

עידוש כבידתי חלש (באנגלית: Weak Gravitational Lensing) הוא התחום שבו ניתן לראות רק דמות אחת של המקור, אך דמות זאת עוותה מעט בצורתה, בהירותה ומיקומה ע"י המסה המעדשת. ברמה מסוימת, כל עצם שמיימי מעודש באופן חלש. כך לדוגמא מיקומו של כוכב הנמצא במרחק זוויתי של 90 מעלות מהשמש מוסט ממיקומו האמיתי בשיעור של כאלפית שניית קשת כתוצאה משדה הכבידה של השמש. דוגמא נוספת הן הדמויות של גלקסיות רחוקות - כאשר אור מגלקסיות אלו חולף בסמוך לגלקסיות אחרות על קו הראייה בין הצופה למקור אזי הוא משנה קמעה את מסלולו. התוצאה הסופית היא בד"כ עיוות קל בצורתה של הגלקסיה. למשל, אם הגלקסיה היתה בצורת עיגול, היא תראה לצופה כאליפטית מעט. מאחר ולגלקסיות אין צורת עיגול, לא ניתן להבחין בתופעה הנ"ל כאשר אנו מתבוננים על גלקסיות בודדות. לעומת זאת ניתן להבחין בתופעה כאשר אנו ממצעים את הצורה של מספר רב של גלקסיות. תופעה זו מאפשרת לנו למדוד את מסתם של צבירי גלקסיות והיא אחת השיטות המבטיחות ביותר לאמוד פרמטרים קוסמולוגיים.

עידוש כבידתי חזק

עידוש כבידתי חזק – קרני אור מגיעות מהמקור (בצד שמאל) ומשנות את כיוונן כתוצאה ממעבר בסמוך למסה (למשל גלקסיה). כתוצאה מכך, הצופה רואה את קרני האור מגיעות מכיוון שונה מעט מזה שבו נמצא המקור. במקרים מסוימים יתכנו מספר מסלולים של קרני אור המחברים את הצופה והמקור ובמקרים אלו אנו רואים מספר דמויות של המקור.
הקוואזר המעודש SDSS0924+0219 כפי שצולם ע"י טלסקופ החלל ע"ש האבל (פרויקט CASTLES). במרכז נראית הגלקסיה המעדשת ומסביבה 4 דמויות של קוואזר מעודש. המרחק האופייני בין הדמויות המעודשות הינו כשניית קשת אחת.

במקרים מסוימים, כאשר קיימת מסה (העצם המעדש) בקרבת קו הראייה לעבר מקור אור (העצם המעודש) הנמצא מאחוריה, יתכן מצב שבו קיים יותר ממסלול אחד שבו יכולות לנוע קרני האור המחברות בין הצופה והעצם המעודש (קיום של יותר ממסלול אחד אפשרי על פי עיקרון פרמה - ראו נספח מתמטי). במקרה כזה, הצופה יבחין במספר דמויות של העצם המעודש. עידוש מסוג זה, שבו ניתן להבחין במספר דמויות של עצם מעודש נקרא עידוש כבידתי חזק ותופעה זו נצפתה לראשונה בשנת 1979 עם גילויו של הקוואזר הכפול Q0957+56. כיום ידועות יותר ממאה דוגמאות של קוואזרים המעודשים ע"י גלקסיות וכן מספר רב של עידוש של גלקסיות ע"י גלקסיות או ע"י צבירי גלקסיות.

האיור הבא מדגים את תופעת העידוש הכבידתי החזק – קרני אור מגיעות מהמקור (בצד שמאל) ומשנות את כיוונן כתוצאה ממעבר בסמוך למסה (למשל גלקסיה). כתוצאה מכך, הצופה רואה את קרני האור מגיעות מכיוון שונה מעט מזה שבו נמצא המקור. במקרים מסוימים יתכנו מספר מסלולים של קרני אור המחברים את הצופה והמקור ובמקרים אלו אנו רואים מספר דמויות של המקור. מימין – קוואזר מעודש כפי שצולם ע"י טלסקופ החלל ע"ש האבל.

עידוש כבידתי חזק עשוי לגרום למספר תופעות נוספות שיפורטו להלן:

עיכוב זמן

הגרף מראה מדידות של עוצמת האור של שתי דמויות של הקוואזר המעודש HE1104-1805 כפי שנצפה במהלך כ 5 שנים ממצפה הכוכבים ע"ש וייז במצפה רמון ובטלסקופ של פרויקט OGLE בצ'ילה. בגרף, הציר האופקי הינו הזמן והציר האנכי הינו עוצמת האור (ביחידות של בהירות). עוצמת האור של דמות אחת מצוירת בכחול ושל השנייה באדום, לאחר שהוזזה בשיעור של עיכוב הזמן.

כאשר נראות מספר דמויות של אותו המקור, אורך מסלול הקרניים השונות בין הצופה למקור הינו שונה. בנוסף, כאשר עוברות קרני האור בסמוך למסה המעודשת, מהירותן מואטת - אפקט הקרוי העיכוב של שפירו (Shapiro delay). כתוצאה משתי הסיבות הנ"ל, במידה ועוצמת האור של המקור משתנה כתלות בזמן, השינוי ייראה קודם בדמות אחת ורק לאחר מכן בדמות אחרת. תופעה זו נקראת עיכוב זמן או הפרש זמן (Time Delay) והיא נמדדה עד היום בכ 15 קוואזרים מעודשים. הפרש הזמן תלוי בהתפלגות המסה המעדשת, וחשוב מכך - הוא תלוי בפרמטר האבל או בקצב התפשטות היקום.

הגרף משמאל מראה מדידות של עוצמת האור של שתי דמויות של הקוואזר המעודש HE1104-1805 כפי שנצפה במהלך כ 5 שנים ממצפה הכוכבים ע"ש וייז במצפה רמון ובטלסקופ של פרויקט OGLE בצ'ילה. בגרף, הציר האופקי הינו הזמן והציר האנכי הינו עוצמת האור (ביחידות של בהירות). עוצמת האור של דמות אחת מצוירת בכחול ושל השנייה באדום, לאחר שהוזזה בשיעור של עיכוב הזמן.

הגדלה זוויתית

עידוש כבידתי משנה למעשה את מספר קרני האור המגיעות מהמקור לצופה – על כן עידוש כבידתי יכול להגדיל את סה"כ כמות האור המגיעה אל הצופה. בפועל, בהירות השטח של העצם המעודש אינה משתנה, אך שטחן של כל אחת מהדמויות יכול לגדול, לקטון ואף להתעוות.

ההגדלה הזוויתית הנ"ל גורמת לכך שניתן להשתמש בעדשות כבידה כטלסקופים טבעיים ולהפריד באמצעותן גלקסיות רחוקות וקטנות.

מיקרו עידוש כבידתי

הגרף מציג מדידות של עוצמת האור כתלות בזמן, של אירוע מיקרו-עידוש בעל הגברה עצומה (פי 500 בעוצמת האור). הנקודות הירוקות נמדדו במצפה הכוכבים ע"ש וייז במצפה רמון. התצפית באירוע הנ"ל איפשרה לשלול קיומם של כוכבי לכת במגוון מסות ובתחום נרחב מסביב לכוכב המעדש. באם לכוכב המעדש היה כוכב לכת, היתה נראית עקומת האור "מופרעת".

מיקרו-עידוש כבידתי (באנגלית: Gravitational Microlensing) – כאשר כוכב בגלקסיה שלנו עובר בינינו לבין כוכב רחוק יותר, הכוכב הקרוב משנה את מסלול קרני האור ומגדיל את סה"כ עוצמת האור של הכוכב המרוחק (הכוכב המעודש). בפועל נוצרות מספר דמויות של הכוכב המעודש, אך המרחק הזוויתי בינהן קטן מדי מכדי שנוכל להפריד אותן באמצעות אמצעי התצפית הקיימים כיום. בכל רגע נתון, כאחד למיליון כוכבים בגלקסיה שלנו עובר מיקרו-עידוש כבידתי. למרות שהתופעה נדירה, כיום מתגלים כאלף אירועים מסוג זה כל שנה באמצעות טלסקופים העוקבים אחרי עשרות מיליוני כוכבים, מודדים את עוצמת אורם כתלות בזמן ומחפשים אחר החתימה האופיינית של שינוי עוצמת האור הנגרם כתוצאה ממיקרו-עידוש כבידתי (ראו נספח מתמטי).

תופעת המיקרו-עידוש הכבידתי מאפשרת גם לחפש כוכבי לכת מסביב לכוכב המעדש. במקרה זה כוכב הלכת יגרום למעין עיוות ב"עדשה" וישנה מעט את השתנות עוצמת האור כתלות בזמן. במקרים מסוימים התופעה מאפשרת גם למדוד את אפקט האפלת השפה בכוכב המעודש.

הפרויקטים לחיפוש מיקרו-עידוש כבידתי תוכננו במקור על מנת לבדוק את טיבה של המסה האפלה בגלקסית שביל החלב. במידה והמסה האפלה היתה מרוכזת בכוכבים קטנים, חורים שחורים וכדומה, הסיכוי למיקרו-עידוש כבידתי היה גבוה יותר. הניסויים הללו הראו כי המסה האפלה בגלקסיה אינה מופיעה בצורה כזאת של כוכבים קטנים, חורים שחורים או כוכבי לכת חופשיים המרחפים בחלל.

הגרף משמאל מציג מדידות של עוצמת האור כתלות בזמן, של אירוע מיקרו-עידוש בעל הגברה עצומה (פי 500 בעוצמת האור). הנקודות הירוקות נמדדו במצפה הכוכבים ע"ש וייז במצפה רמון. התצפית באירוע הנ"ל איפשרה לשלול קיומם של כוכבי לכת במגוון מסות ובתחום נרחב מסביב לכוכב המעדש. באם לכוכב המעדש היה כוכב לכת, היתה נראית עקומת האור "מופרעת".


שימושים אסטרופיזיקליים של עידוש כבידתי

לעידוש כבידתי שימושים אסטרופיזיקלים רבים שהבולטים שבהם הוא מדידת מסה והתפלגות המסה והמסה האפלה בגלקסיות וצבירי גלקסיות, מדידת הפרמטרים הקוסמולוגיים של היקום (ראו: המפץ הגדול וחוק האבל) וחיפוש כוכבי לכת מחוץ למערכת השמש. להלן נפרט מעט על חלק משימושים אלו.

אומדן המסה והתפלגות המסה של גלקסיות וצבירי גלקסיות

צילום של צביר הגלקסיות Abell 1689. העצמים הצהבהבים הינם גלקסיות בצביר, בעוד הקשתות המאורכות הינן דמויות של גלקסיות רחוקות שעודשו ע"י שדה הכבידה של הצביר. צילום : טלסקופ החלל ע"ש האבל של מנהלת החלל והתעופה של ארה"ב.
שיחזור התפלגות המסה, כתלות במיקום, של צביר הגלקסיות Abell 1689. השיחזור התבצע ע"י שימוש בגלקסיות הרבות שמעודשות ע"י צביר הגלקסיות הנ"ל. השחזור התבצע ע"י תום ברודהרסט מהמחלקה לאסטרופיזיקה באוניברסיטת ת"א.

באמצעות עידוש כבידתי חזק וחלש ניתן למדוד את סה"כ המסה המעדשת וכן את ההתפלגות שלה במרחב. הרעיון הבסיסי הוא כי זווית השבירה של קרני אור על ידי עדשת כבידה תלויה בהתפלגות המסה וסה"כ המסה בעצם המעדש. ככל שיש יותר מסה כך עיוות הדמויות וזוויות ההטיה גדולות יותר. כאשר סה"כ המסה במערכת עוברת ערך סף מסוים עשויות להיווצר מספר דמויות למקור בודד (עידוש כבידתי חזק). בד"כ חילוץ המסה והתפלגותה איננו פשוט ודורש חישובים רבים.

קיימות כאמור שתי שיטות מרכזיות למדידת המסה באמצעות עידוש כבידתי. 1. עידוש כבידתי חזק - במידה והצביר מסיבי אזי יתכנו דמויות מרובות של מקורות בדידים. מיקום הדמויות של העצם המעודש תלוי בשיפוע (הגרדיאנט) של הפוטנציאל הכבידתי של הצביר. על כן מדידת מיקום הדמויות מאפשרת את מדידת שיפועי הפוטנציאל במקומות שונים. במידה וניתן לאתר מספר רב של דמויות מעודשות אזי ניתן לחשב מתמטית את צורת הפוטנציאל הכבידתי שמשחזרת את השיפועים הנצפים. 2. עידוש כבידתי חלש - עידוש כבידתי מעוות את דמויות הגלקסיות הרחוקות. במידה וניתן למדוד את צורתן של גלקסיות רבות ברקע של הצביר ובהנחה כי האורינטציה של צורת הגלקסיות ללא עידוש הינה אקראית, עידוש כבידתי יגרום לגקלסיות באותו אזור עיוות באותה אורינטציה. ממדידת האורינטציה הממוצעת כתלות במיקום ניתן למדוד את המסה המעדשת.

משמאל – צילום של צביר הגלקסיות Abell 1689. העצמים הצהבהבים הינם גלקסיות בצביר, בעוד הקשתות המאורכות הינן דמויות של גלקסיות רחוקות שעודשו ע"י שדה הכבידה של הצביר.

מימין – שיחזור התפלגות המסה, כתלות במיקום, של צביר הגלקסיות Abell 1689. השיחזור התבצע ע"י שימוש בגלקסיות הרבות שמעודשות ע"י צביר הגלקסיות הנ"ל.

מדידת פרמטרים קוסמולוגים באמצעות עידוש כביתי חלש

אחת השיטות המבטיחות ביותר למדידה של הפרמטרים הקוסמולוגים (כגון צפיפות החומר והאנרגיה ביקום) היא באמצעות מדידת העיוות של דמויות של גלקסיות רחוקות כתוצאה משדה הכבידה של החומר ביננו לבין הגלקסיות הללו. שיטה זו לעיתים קרויה גזירה קוסמית (באנגלית: Cosmic Shear) מתבססת על כך שעיוות צורת הגלקסיות כתוצאה מעידוש כבידתי חלש תלוי בהתפלגות המסה ביקום שהיא תלויה בפרמטרים הקוסמולוגים כגון תכולת החומר והאנרגיה של היקום וקצב התפשטות היקום.

מדידת קבוע האבל באמצעות עיכוב הזמן

עיכוב הזמן תלוי כאמור בשני גורמים: התפלגות המסה והמסה של העדשה וקבוע האבל. ניתן להבין את התלות בקבוע האבל בצורה הפשוטה הבאה - ככל שקבוע האבל קטן יותר כך היקום גדול יותר ועל כן כאשר עדשה מעקמת את מסלול קרני האור הדרך הנוספת שהאור צריך לעבור ארוכה יותר. על כן במידה וניתן להעריך את התפלגות המסה והמסה של עדשה אזי מדידת עיכוב הזמן מאפשרת מדידה ישירה של קבוע האבל ללא צורך במדידת מרחקים וכיול סולם המרחקים. הקושי בשיטה זו היא שלרוב אין מספיק אילוצים תצפיתיים המאפשרים הן את מדידת המסה והתפלגותה והן את קבוע האבל. כאשר שיטה זו מופעלת באופן סטטיסטי על מספר רב של מערכות שלהן נמדד עיכוב הזמן אזי היא נותנת תוצאות הנמצאות בהתאמה טובה עם שיטות אחרות.

חיפוש וגילוי כוכבי לכת מחוץ למערכת השמש

עקומת האור של אירוע מיקרו עידוש כבידתי שבאמצעותו התגלה כוכב לכת עם מסה דומה לזו של כוכב הלכת צדק. על גבי עקומת האור נראות סטיות מעקומת האור החזויה כתוצאה ע"י עידוש ע"י כוכב בודד. מודלים מתמטים של עקומת האור הנ"ל מאפזשרים את חילוץ המאפיינים של המערכת הנ"ל (.Udalski et al).

תופעת המיקרו-עידוש הכבידתי מאפשרת לחפש כוכבי לכת מסביב לכוכב המעדש. אם לכוכב המעדש יש כוכב לכת, כוכב הלכת יגרום למעין עיוות ב"עדשה" וישנה מעט את השתנות עוצמת האור כתלות בזמן. מיקומו של כוכב הלכת בעת התצפית הוא משמעותי עבור תבנית השתנות האור. קיומם של מספר כוכבי לכת יתורגם במדידה הפוטומטרית למספר עיוותים. פרמטרים נוספים שמתגלים בשיטה זו הינם מסת כוכב הלכת ומרחקו מהכוכב.

לשיטת המיקרו-עידוש כבידתי יתרונות על פני שיטות אחרות לחיפוש כוכבי לכת זרים (exoplanets). השיטה מאפשרת גילוי כוכבי לכת במרחק של כיחידה אסטרונומית מהכוכב שלהם, בניגוד לשיטת המהירות הראדיאלית ולשיטת הליקויים שרגישות בעיקר לכוכבי לכת קרובים לכוכב שלהם. מעבר לכך, בהינתן הגברה גדולה של הכוכב המעודש, גם כוכב לכת שגודלו כגודל כדור הארץ יגרום להפרעה בעקומת האור – ולזיהוי ודאי. החיסרון הגדול של שיטה זו הינו שהמדידה והגילוי הם חד פעמיים. ברגע שהכוכב המעדש ממשיך לדרכו לא ניתן עוד לזהות או לחקור את כוכב הלכת במשך שנים רבות.

בעזרת מדידות של אירועי מיקרו-עידוש כבידתי נמצאו בשנים האחרונות מספר כוכבי לכת סביב שמשות זרות. מכיוון שאירועים כאלו מתרחשים לאורך מספר ימים (ימי ארץ), מתבצע המעקב אחר אירועי מיקרו-עידוש בשיתוף פעולה של אסטרונומים מסביב לעולם. כך, גם מצפה הכוכבים ע"ש וייז של אוניברסיטת תל-אביב הינו חבר בהתארגנות כזו והוא היה שותף בכמה תגליות מעניינות של כוכבי לכת ובכלל זה מערכת עם שני כוכבי לכת שגודלם ומרחקם מהשמש שלהם זהה לנתוניהם של צדק ושבתאי במערכת השמש שלנו.

משמאל - עקומת האור של אירוע מיקרו עידוש כבידתי שבאמצעותו התגלה כוכב לכת עם מסה דומה לזו של כוכב הלכת צדק. על גבי עקומת האור נראות סטיות מעקומת האור החזויה כתוצאה ע"י עידוש ע"י כוכב בודד.

נספח מתמטי

עידוש ומקדם שבירה אפקטיבי

כמו עבור עדשה אופטית, גם עבור עדשת כבידה ניתן להגדיר את מקדם השבירה של העדשה וגם במקרה זה משמעות מקדם השבירה הוא היחס בין מהירות האור בריק ללא הפרעה למהירות האור ב"תווך" עדשת הכבידה. השקילות בין שני המקרים נובעת כמובן מעיקרון פרמה שקובע (במקרה הפרטי של תנועת האור) כי קרני האור ינועו במסלולים שבהם זמן ההגעה מהמקור לצופה הוא אקסטרימלי (מינימום מקומי, מקסימום מקומי או נקודת פיתול).

במקרה של עדשת כבידה מקדם השבירה, n, ניתן ע"י:

n=\,1+\frac{2\vert \Phi \Vert}{c^{2}}

כאשר Φ הינו הפוטנציאל הכבידתי הניוטוני של המסה המעדשת ו c הינה מהירות האור.

רדיוס איינשטיין

רדיוס איינשטיין (באנגלית: Einstein Radius) מייצג את הסקלה האופיינית של עידוש כבידתי. במידה ונמקם מקור אור נקודתי מאחורי מסה נקודתית המקור יעודש לכדי טבעת שרדיוסה מוגדר להיות רדיוס איינשטיין. רדיוס איינשטיין ביחידות של זווית מוגדר ע"י:

\theta_{E}=\,\sqrt{\frac{4GM}{c^{2}}\frac{d_{ls}}{d_{s}d_{l}}}

ועבור גדלים אופיינים למרחקים גלקטיים ניתן ע"י:

\theta_{E}=\,0.029\,\Big(\frac{M}{1\,{\rm M_{\odot}}}\Big)^{1/2}\Big(\frac{d_{ls}}{5\,{\rm kpc}}\Big)^{1/2}\Big(\frac{d_{s}}{10\,{\rm kpc}}\Big)^{-1/2}\Big(\frac{d_{l}}{5\,{\rm kpc}}\Big)^{-1/2}\,{\rm arcsec}

ואילו לגלקסיות ומרחקים קוסמולוגיים:

\theta_{E}=\,0.64\,\Big(\frac{M}{10^{11}\,{\rm M_{\odot}}}\Big)^{1/2}\Big(\frac{d_{ls}}{1\,{\rm Gpc}}\Big)^{1/2}\Big(\frac{d_{s}}{2\,{\rm Gpc}}\Big)^{-1/2}\Big(\frac{d_{l}}{1\,{\rm Gpc}}\Big)^{-1/2}\,{\rm arcsec}

משוואת העדשה

עידוש כבידתי חזק – קרני אור מגיעות מהמקור (בצד שמאל) ומשנות את כיוונן כתוצאה ממעבר בסמוך למסה (למשל גלקסיה). כתוצאה מכך, הצופה רואה את קרני האור מגיעות מכיוון שונה מעט מזה שבו נמצא המקור. במקרים מסוימים יתכנו מספר מסלולים של קרני אור המחברים את הצופה והמקור ובמקרים אלו אנו רואים מספר דמויות של המקור.

האיור מימין מדגים את הזוויות השונות שאותן נהוג להגדיר בעידוש כבידתי חזק. β הינו המרחק הזוויתי בין העדשה והמקור (Impact Parameter), בעוד θ הינה המרחק הזוויתי של הדמות או הדמויות מהעדשה ו α הינה זווית ההטיה המצומצמת (ראו איור משמאל). הקשר בין הגדלים הללו הינו קשר גאומטרי פשוט שניתן להשתכנע בנכונותו מהתבוננות באיור משמאל - קשר זה קרוי משוואת העדשה (באנגלית: Lens Equation). נציין רק כי במקרה הכללי משוואת העדשה הינה משוואה וקטורית לא לינארית ועשויה להיות קשה להיפוך.

\vec{\beta}=\,\vec{\theta}-\vec{\alpha}(\vec{\theta})

הקשר בין זווית ההטיה המצומצמת, לזווית ההטייה \hat{\alpha} ניתן ע"י:

\vec{\alpha}=\,\frac{d_{ls}}{d_{s}}\vec{\hat{\alpha}}

עידוש ע"י מסה נקודתית

במקרה הפרטי של מסה נקודתית (חור שחור שוורצשילד) זווית ההטיה ניתנת ע"י:

\hat{\alpha}=\,\frac{4GM}{c^{2}b}

כאשר b הינו המרחק בין המקור לעדשה, כפי שנמדד במישור העדשה, ביחידות פיזיקליות. ואז משוואת העדשה ניתנת לרישום:

\beta=\,\theta-\frac{\theta_{E}^{2}}{\theta}

במקרה זה למשוואת העדשה שתי פתרונות, ומיקום הדמויות ניתן ע"י:

\theta_{\pm}=\,\frac{1}{2}\Big( \beta\pm \sqrt{\beta^{2}+4\theta_{E}^{2}}\Big)

ואילו ההגדלה של כל אחת מהדמויות (המסומנות בפלוס ומינוס) ניתנת ע"י:

\mu_{\pm}=\,\Big[1-\Big(\frac{\theta_{E}}{\theta_{\pm}}\Big)^{4}\Big]^{-1}=\,\frac{u^{2}+2}{2u\sqrt{u^{2}+4}}\pm\frac{1}{2}

כאשר u הינו המרחק הזוויתי בין העדשה למקור (Impact Parameter) ביחידות של רדיוס איינשטיין.

באופן מעשי לעיתים לא ניתן להפריד את הדמויות וכל שרואים הוא דמות בודדת שעוצמת אורה מוגברת בשיעור השווה לסכום ההגדלות של שתי הדמויות שניתן ע"י:

\mu_{tot}=\,\frac{u^{2}+2}{u\sqrt{u^{2}+4}}

כאשר u=1 ההגדלה שווה ל:

\mu(u=1)=\,1.17+0.17=1.34

עידוש על ע"י פוטנציאל איזותרמי

בפרופיל איזותרמי (שווה טמפרטורה) מתקיים:

m\sigma_{v,1}^{2}=\,k_{B}T

כאשר m היא מסת החלקיק ו σv,1 הוא פיזור המהירויות החד ממדי ו kBT היא האנרגיה של כל חלקיק. במצב כזה ניתן להראות כי צפיפות החלקיקים ρ כתלות במרחק, r, ממרכז הפוטנציאל היא:

\rho(r)=\,\frac{\sigma_{v,1}^{2}}{2\pi G r^{2}}

כאשר G הינו קבוע הכבידה העולמי. במקרה זה התפלגות המסה המשטחית (מוטלת על קו הראיה) היא:

\Sigma(\xi)=\,\frac{\sigma_{v,1}^{2}}{2G\xi}

כאשר ξ הינו המרחק ממרכז העדשה כפי שמוטל על פני מישור כיפת השמיים. וזווית ההטיה ניתנת ע"י:

\hat{\alpha}=\,\frac{4\pi\sigma_{v,1}^{2}}{c^{2}}=\,0.93\frac{\sigma_{v,1}^{2}}{180\,{\rm km\,s}^{-1}}\,{\rm arcsec}

כמו כן ניתן להראות כי רדיוס אינשטיין הזוויתי שווה ל:

\theta_{E}=\,\frac{d_{ls}}{d_{s}}\hat{\alpha}=\,\alpha

במידה והמקור נמצא פנימית לרדיוס אינשטיין, אזי עדשת הכבידה מיצרת שתי דמויות (ודמות שלישית בעלת הנחתה אין סופית). במקרה זה מיקום הדמויות ניתן ע"י:

\theta_{\pm}=\,\beta\pm\theta_{E}

וההגדלה שלהן:

\mu_{\pm}=\,\frac{\theta_{\pm}}{\beta}=\,1\pm\frac{\theta_{E}}{\beta}

ויחס ההגברה בין הדמויות:

\frac{\mu_{+}}{\mu_{-}}=\,\frac{\beta+\theta_{E}}{\beta-\theta_{E}}

עידוש ע"י פוטנציאל כללי

במקרה הכללי נהוג להגדיר את הפוטנציאל האפקטיבי לעידוש כבידתי שניתן ע"י:

\psi(\vec{\theta})=\,\frac{d_{ls}}{d_{s}d_{l}}\frac{2}{c^{2}}\int{\Phi(d_{l}\vec{\theta},z)dz}

במקרה זה, זווית ההטיה ניתנת ע"י הגרדיאנט של פוטנציאל העידוש:

\vec{\alpha}=\,\vec{\nabla}_{\theta}\psi

צפיפות המסה ליחידת שטח של העדשה מסומנת באות κ ונקראת convergence. נהוג להגדיר גודל זה ע"י:

2\kappa(\vec{\theta})=\,2\frac{\Sigma(\vec{\theta})}{\Sigma_{cr}}=\,\nabla_{\theta}^{2}\psi

כאשר Σcr היא הצפיפות המשטחית הקריטית שניתנת ע"י:

\Sigma_{cr}=\,\frac{c^{2}}{4\pi G}\frac{d_{s}}{d_{l}d_{ls}}

נציין כי צפיפות משטחית גדולה מהצפיפות המשטחית הקריטית היא תנאי מספיק (אך לא הכרחי) לכך שעדשת כבידה תוכל לייצר מספר דמויות של מקור. ניתן לקבל את הפוטנציאל מה convergance ע"י הקשר האינטגרלי:

\psi(\vec{\theta})=\,\frac{1}{\pi}\int{\kappa(\vec{\theta'})\ln{|\vec{\theta}-\vec{\theta'}|}d^{2}\theta'}

ואילו זווית ההטייה ניתנת ע"י:

\vec{\alpha}(\vec{\theta})=\,\vec{\nabla}\psi=\,\frac{1}{\pi}\int{\kappa(\vec{\theta'}) \frac{\vec{\theta}-\vec{\theta'}  }{|\vec{\theta}-\vec{\theta'}|^{2}   }d^{2}\theta' }

טנזור ההגדלה

תופעת העידוש הכבידתי הינה משמרת בהירות שטח, אך היא משנה את השטח הזוויתי של העצם המעודש ועל כן בפועל מגבירה את סה"כ עוצמת האור שלו. ההגדלה ע"י עדשת כבידה איננה סימטרית והיא עשויה לעוות את הדמות המעודשת. בקרוב של מקור נקודתי, ניתן להגדיר את טנזור ההגדלה (באנגלית: Magnification Tensor) המסומן באות M שציריו הראשיים מבטאים את ההגדלה של הצירים הראשיים והאלמנטים הלא אלכסוניים מבטאים את הסיבוב. טנזור ההגדלה M וההופכי שלו A שנקרא גם טנזור המיפוי מוגדרים ע"י הנגזרות של מיקום הדמות במישור המקור על פי מיקום הדמות במישור העדשה:

A=\,M^{-1}=\,\frac{\partial\vec{\beta}}{\partial\vec{\theta}}=\,\Big(\delta_{i,j}-\frac{\partial\alpha_{i}(\vec{\theta})}{\partial\theta_{j}}\Big)=\,\Big(\delta_{i,j}-\frac{\partial^{2}\psi(\vec{\theta})}{\partial\theta_{i}\partial\theta_{j}}\Big)

ה convergance ניתן ע"י:

\kappa=\,{\rm trace}\Big(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\theta_{i}\partial\theta_{j}} \Big)

כמו כן נהוג להגדיר את ה shear המסומן באות γ ואבריו הם:

\gamma_{1}(\vec{\theta})=\,\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\theta_{1}\partial\theta_{1}}-\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\theta_{2}\partial\theta_{2}} \Big)


\gamma_{2}(\vec{\theta})=\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\theta_{1}\partial\theta_{2}}

ואז ניתן לרשום את טנזור המיפוי כ:

A=\,\begin{pmatrix} 1 - \kappa -\gamma_{1} & -\gamma_{2} \\ -\gamma_{2} & 1-\kappa+\gamma_{1}\end{pmatrix}

ואילו ההגדלה הכללית:

\mu=\,\frac{1}{{\rm det} A}=\,\frac{1}{(1-\kappa)^{2}-\gamma^{2}}

כאשר:

\gamma=\,\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}

עיכוב הזמן

אם נחליף את זווית ההטיה בגרדיאנט של הפוטנציאל אזי ניתן לרשום את משוואת העדשה באמצעות:

(\vec{\theta}-\vec{\beta})-\vec{\nabla}_{\theta}\psi=\,0

ביטוי זה ניתן לרשום גם באמצעות:

\vec{\nabla}_{\theta} \big[\frac{1}{2}(\vec{\theta}-\vec{\beta})^{2}-\psi \big]=\,0

על פי עיקרון פרמה, דמויות יתקבלו בנקודות האקסטרמום שניתנות ע"י תכולת הסוגריים של הביטוי האחרון. לאחר כיול מתאים, עיכוב הזמן ניתן ע"י:

t(\vec{\theta})=\,\frac{1+z_{l}}{c}\frac{d_{l}d_{s}}{d_{ls}}\big[\frac{1}{2}(\vec{\theta}-\vec{\beta})^{2}-\psi \big]

כאשר החלק בעיכוב הזמן התלוי בפוטצניאל נקרא עיכוב שפירו (Shapiro Delay) ואילו החלק הנוסף הינו עיכוב גאומטרי.

מיקרו עידוש כבידתי

במקרים הפשוטים ביותר מיקרו עידוש כבידתי שקול לעידוש ע"י מסה נקודתית. בד"כ לא ניתן להפריד את הדמויות והתופע העיקרי שאנו רואים הינו הגברה בסה"כ עוצמת האור. כתוצאה מהתנועה היחסית של כדור הארץ, העדשה והמקור עוצמת האור משתנה עם הזמן ושטף הקרינה, Flux, כתלות בזמן ניתן ע"י:

{\rm Flux}=\,(1-\alpha)F_{B}+\alpha F_{B}\mu(t)

כאשר FB הינו שטף הקרינה של המקור הלא מעודש, α הינו פרמטר הערבוב המציין את תרומתו היחסית של מקור קבוע לא מעודש (למשל כוכב נוסף הקרוב לכוכב המעודש) וההגדלה כתלות בזמן ניתנת ע"י

\mu=\,\frac{u^{2}+2}{u\sqrt{u^{2}+4}}

ו u ניתן ע"י:

u=\,\sqrt{\beta^{2}+v_{E}^{2}(t-t_{0})^{2}}

וכאשר β הינו ה impact parameter ביחידות של רדיוס אינשטיין, vE הינה המהירות היחסית על פני כיפת השמיים בין המקור והעדשה ביחידות של רדיוס אינשטיין ליחידת זמן, t הזמן ו t0 הינו הזמן שבו המרחק על פני כיפת השמיים בין העדשה והמקור מזערי.

המהירות vE קשורה למהירות, V, ביחידות פיזיקליות ע"י:

v_{E}=\,\frac{V}{\theta_{E}d_{l}}

כאשר רדיוס אינשטיין הזוויתי ניתן ע"י:

\theta_{E}=\,\sqrt{\frac{4GM}{c^{2}}\frac{d_{ls}}{d_{s}d_{l}}}

עוד נציין כי הזמן האופייני של הארוע הוא הזמן שלוקח למקור לחצות את רדיוס אינשטיין הינו מתכונתי ל \frac{1}{v_{E}}.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק, אלינור מדיזינסקי, דוד פולישוק