קואורדינטות ארציות

מתוך אסטרופדיה
(הופנה מהדף קורדינאטות ארציות)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קואורדינטות ארציות (באנגלית: Teresstrial Coordinate) הן מערכות קואורדינטות המשמות על (ולעיתים מסביב ל) כדור הארץ. מערכות קואורדינטות ארציות משמשות לניווט והתמצאות. באסטרונומיה יש להן חשיבות מאחר ולעיתים, כאשר אנו צופים על עצמים קרובים יחסית (למשל במערכת השמש), מיקום עצמיים שמיימים על פני כיפת השמיים תלוי במיקום הצופה על כדור הארץ (ראו: פרלקסה אופקית).

לשם ניווט על פני הארץ עושים שימוש במערכת קואורדינטות הפרושה על פני כדור הארץ. מהיבטים מסוימים מערכת זאת מורכבת יותר מהמערכת השמיימית וזאת מפאת צורתו הפחוסה של כדור הארץ (ראו להלן). בעיקרון על פני כדור הארץ נעשה שימוש במערכת קואורדינטות כדורית, שבה קווי רוחב מקבילים זה לזה, קווי האורך מאונכים לקוי הרוחב ונחתכים ביניהם בקטבים, וכן בגובה מעל פני הכדור או כל צורת יחוס אחרת שנבחר (בד"כ אליפסואיד – ראו: אליפסה). כפי שיוסבר בהמשך גובה פני הים ביחס לאליפסואיד היחוס משתנה מנקודה לנקודה.

יש לציין כי קווי האורך הינם מעגלים גדולים, קרי מעגלים הנוצרים ע"י החיתוך של מישור העובר דרך מרכז הכדור עם הכדור. לעומת זאת, קווי הרוחב למעט קו רוחב אפס הם לא מעגלים גדולים. קווי הרוחב על כדור הארץ נקבעו ביחס לציר הסיבוב שלו. כך שקווי רוחב 90 ± מעלות נמצאים בדיוק בנקודות שבהן ציר הסיבוב יוצא מכדור הארץ. קווי האורך לא נהנים מסימטריה ארצית שמאפשרת את קביעתם, וכידוע קו אורך אפס נמדד שרירותית מגריניץ' באנגליה. למעשה, כתוצאה מתנודות הקטבים, ציר הסיבוב של כדור הארץ משתנה קמעה על הארץ, דבר ששוב מצריך לקבוע אותו מחדש. בדרך כלל נהוג להגדיר את ציר הסיבוב כציר הסיבוב הממוצע. בעיה נוספת היא כמובן צורתו של כדור הארץ שמערימה קושי על הגדרת קווי הרוחב. ועל כן ניתן להבחין במספר סוגים של מערכות קואורדינטות הנבדלות זו מזו בקווי הרוחב:

כדור הארץ כאליפסואיד

צורתו של כדור הארץ מורכבת ולא ניתנת לתיאור ע"י צורה פשוטה כגון כדור (ראו: גאואיד בהמשך). הסיבה החשובה ביותר לאי-כדוריותו של כדור הארץ היא העובדה כי הוא מסתובב סביב צירו. סיבוב זה גורם, במערכת היחוס של גוף המצוי על פני כדור הארץ, להפעלת כוחות צנטרופוגליים שעוצמתם מירבית על קו המשווה של כדור הארץ והם גורמים להתרחבות כדור הארץ בקו המשווה (ראו: צורות שווי משקל של גוף מסתובב).

בקירוב, צורתו של כדור הארת ניתנת לתיאור ע"י אליפסואיד שאורך חצי צירו הארוך בקו המשווה (רדיוס כדור הארץ בקו המשווה) הוא 6378.137 ק"מ, האקצנטריות שלו 0.0818 ורדיוסו בקטבים (חצי הציר הקצר) הוא 6356.8 ק"מ.

ההפרש בין רדיוס כדור הארץ בקו המשווה ובקטבים הוא 21.4 ק"מ.

מערכת קואורדינטות גאודטית

הגדרה של קו רוחב גאודטי, φ וקו רוחב גאוצנטרי φ'. קו רוחב גאוצנטרי מוגדר ביחס למרכז כדור הארץ ואילו קו רוחב גאודטי מוגדר ע"י הזווית הנוצרת בין מישור המשווה של כדור הארץ והאנך לאליפסואיד היחוס במיקומו של הצופה.

מערכת קואורדינטות גאודטית או לעיתים מערכת קואורדינטות גאוגרפית היא מערכת הקורדינאטת הנמצאת בד"כ בשימוש אזרחי. מערכת הקואורדינטות הנ"ל עושה שימוש באליפסואיד יחוס.

קווי הרוחב הגיאודטיים נקבעים בצורה הבאה: מנקודה שבקו הרוחב שלה אנו מעוניינים, מורידים אנך מאליפסואיד הייחוס אל תוך כדור הארץ, וזווית החיתוך של אנך זה עם מישור המשווה של כדור הארץ (המישור המוגדר ע"י מרכז כדור הארץ ואנך לציר הסיבוב הממוצע) היא קו הרוחב המבוקש. נקודת החיתוך הנ"ל אינה בהכרח מרכז כדור הארץ. הדבר מודגם באיור משמאל, צורתו של כדור הארץ מקורבת ע"י אליפסואיד והזווית φ מוגדרת כקו הרוחב הגאודטי.

מערכת קואורדינטות גאוצנטרית

מערכת קואורדינטות גאוצנטרית (באנגלית: Geocentric Coordinate System) היא מערכת קואורדינטות שבה המיקום נקבע ביחס למרכז כדור הארץ. קו הרוחב הגאוצנטרי מסומן באיור משמאל ב φ' והוא כאמור נמדד ביחס למרכז כדור הארץ.

מערכת קואורדינטות גאוצנטרית משמשת בעיקר בעת המרת קואורדינטות באסטרונומיה.

אליפסואיד יחוס

ישנן מערכות רבות של אליפסואדי יחוס. כל אליפסואיד יחוס מוגדר ע"י חצי הציר הארוך שלו (רדיוס האליפסואיד בקו המשווה של כדור הארץ) והפחיסות (flattening factor) שמסומנת בד"כ באות f. הפחיסות קשורה לחצי הציר הארוך (a), חצי הציר הקצר (b) של האליפסואיד או לאקצנטריות שלו (e) ע"י הנוסחא הבאה:

e=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{2f-f^{2}}

או

f=\frac{a-b}{a}

חצי הציר הארוך של אליפסואיד הייחוס WGS84 הוא 6378137 מטר ופחיסותו הינה 1/298.257223563.

בטבלה הבאה תוכלו למצוא את הפרמטרים המתארים מספר אליפסואדי יחוס נבחרים:

אליפסואידי יחוס נבחרים
אליפסואיד יחוס חצי ציר ארוך [מטר] 1/f הפחיסות ההופכית

WGS84

6378137

298.257223563

IERS 1989

6378136

298.257

MERIT 1983

6378137

298.257

IAU 1976

6378140

298.257

IAG 1975

6378140

298.256

WGS72

6378135

298.26

WGS66

6378145

298.25

IAU1964

6378160

298.25

WGS60

6378165

298.3

המרת קואורדינטות גאוצנטריות לגאודטיות

להמרת קואורדינטות גאוצנטריות במערכת קרטזית (X,Y,Z) לקואורדינטות גאודטיות:

\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(N_{\phi}+h)\cos(\phi)\cos(\lambda)\\(N_{\phi}+h)\cos(\phi)\sin(\lambda)\\([1-e^{2}]N_{\phi}+h)\sin(\phi)\end{bmatrix}

כאשר λ הינו קו האורך הגאודטי, φ הינו קו הרוחב הגאודטי, h הינו הגובה הגאודטי (הגובה ביחס לאליפסואיד הייחוס) ו Nφ הינו רדיוס העקמומיות של האליפסואיד במצהר (radius of curvature in the meridian) וניתן ע"י:

N_{\phi}=\frac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}(\phi)}}

והקשר בין קואורדינטות גאוצנטריות במערכת קרטזית לקואורדינטות גאוצנטריות במערכת כדורית הוא:

X=\,r\cos{\phi'}\cos{\lambda}

Y=\,r\cos{\phi'}\sin{\lambda}

Z=\,r\sin{\phi'}

כאשר r הינו הרדיוס הגאוצנטרי של הצופה.


לעיתים נהוג להחליף את רדיוס העקמומיות בגדלים C ו S המוגדרים ע"י:

C =\,\frac{N_{\phi}}{a}=\,\sqrt{cos^{2}\phi + (1-f)^{2}\sin^{2}\phi}

S=\,\frac{N_{\phi}(1-e^{2})}{a}=\,C(1-f)^{2}

קרובים

לסירוגין ניתן להשתמש בקירובים:

\phi-\phi'=\,\Big(f +\frac{1}{2}f^{2}\Big)\sin(2\phi)-\Big(\frac{1}{2}f^{2}+\frac{1}{2}f^{3}\Big)\sin(4\phi)+\frac{1}{3}f^{3}\sin(6\phi)+...

S=\,1-\frac{2}{3}f+\frac{5}{16}f^{2}+\frac{3}{32}f^{3}-\Big(\frac{1}{2}f-\frac{1}{2}f^{2}-\frac{5}{64}f^{3}\Big)\cos(2\phi) + \Big(\frac{3}{16}f^{2}-\frac{3}{32}f^{3}\Big)\cos(4\phi) -\frac{5}{64}f^{3}\cos(6\phi) + ...

C=\,1+\frac{1}{2}f+\frac{5}{16}f^{2}+\frac{7}{32}f^{3}-\Big(\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}f^{2}+\frac{27}{64}f^{3}\Big)\cos(2\phi) + \Big(\frac{3}{16}f^{2}+\frac{9}{32}f^{3}\Big)\cos(4\phi) - \frac{5}{64}f^{3}\cos(6\phi) + ...

ועבור גאואיד ה IAU 1976 מתקבל:

\phi'-\phi=\,-692.7430''\sin{2\phi}+1.1633\sin{4\phi}-0.0026\sin{6\phi}

מקשרים אלו ניתן לחלץ את אורכה של מעלת רוחב על כדור הארץ במטרים:

111133.35-559.84\,\cos{2\phi}+1.17\cos{4\phi}

ואילו מעלת אורך במטרים:

111413.28\,\cos{\phi}-93.51\cos{3\phi}+0.12\cos{5\phi}

גאואיד

הסטיות של הגאואיד ביחס לאליפסואיד יחוס. הסטיות המירביות הן בשיעור של כ 100 מטר.

אליפסואידי הייחוס הינם קירוב לצורתו של כדור הארץ, אבל הם לא מתארים בדיוק את הצורה שמותווית ע"י האוקיינוסים. צורתו האמיתית של כדור הארץ (הצורה שהייתה מתקבלת אילו כדור הארץ היה אוקיינוס אחד גדול) נקראת גאואיד וקיימות סטיות של כ-100 מטר בין אליפסואדי הייחוס השונים ובין הגאואיד. ההגדרה המדויק של הגאואיד הוא המשטח שעליו הפוטנציאל הכבידתי של כדור הארץ זהה לפוטנציאל הכבידתי בגובה פני הים הממוצע. סטיות אלו כאמור נובעות מהתפלגות לא אחידה של מסת כדור הארץ. באיור משמאל ניתן לראות את הסטיות של הגאואיד ביחס לאליפסואיד יחוס.

ההפרש בין הגאואיד לאליפסואיד היחוס מסומן בד"כ באות N ונקרא geoid undulation.

גובה אורטומטרי

גובה אורטומטרי (באנגלית: Orthometric Height) הוא הגובה כפי שנמדד ביחס לגאואיד (או פני הים).

שדה הכבידה של כדור הארץ

מאחר והתפלגות המסה בכדור הארץ איננה אחידה, שדה הכבידה שלו הינו מורכב. לשימושים מוסימים כגון חישוב מסלולי לווינים במסלול נמוך סביב כדור הארץ יש צורך להביא בחשבון את הפוטנציאל הכבידתי המדויק של כדור הארץ.

נהוג לפתח את הפוטנציאל הכבידתי של כדור הארץ בהרמוניות ספריות.

כאשר ממונטי הכבידה Jm מוגדרים ע"י פיתוח הפוטנציאל הכבידתי של גוף בטור מהטיפוס:

\Phi(r,\theta)=\frac{-Gm}{r}\Big[1-\Sigma_{n=1}^{\infty}\Big(\frac{r_{e}}{r}\Big)^{2n} J_{2n}P_{2n}(\cos{\theta})\Big]

כאשר re הינו רדיוס הגוף בניצב לציר הסיבוב (הרדיוס בקו המשווה) ו P2n הינם פולינומי לג'אנדר. למשל, P2 ניתן ע"י:

P_{2}=\frac{1}{2}(3\cos^{2}{\theta}-1)

בטבלה הבאה מרוכזים מסות כוכבי הלכת ומומנטי הכבידה שלהם:

מסה וממונטי כבידה של כוכבי הלכת וגופים נבחרים במערכת השמש
כוכב לכת מסה באחד חלקי מסות שמש J2
כוכב חמה 6023600
נגה 408523.5
כדור הארץ+הירח 328900.5
כדור הארץ 332946.038 0.00108263
מאדים 3098710 0.001964
צדק 1047.350 0.01475
שבתאי 3498.0 0.01645
אורנוס 22960 0.012
נפטון 19314 0.004
פלוטו 130000000
קרס 5.9\times10^{-10}
פאלס 1.0814\times10^{-10}
וסטה 1.3787\times10^{-10}

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים


ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק