חוק טיטוס-בודה

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוק טיטוס-בודה (באנגלית: Titius-Bode Law) היא סדרה מתמטית הנותנת בקרוב גס את היחסים בין המרחקים של חלק מכוכבי הלכת במערכת השמש. החוק התגלה ע"י יוהן טיטוס (Johann Daniel Titius) בשנת 1766 ופורסם ע"י יוהן בודה (Johann Elert Bode) בשנת 1772.

החוק המקורי כפי שפורסם ע"י בודה (חוק בודה או חוק טיטוס-בודה) היה:

a=\frac{n+4}{10}

כאשר n=0,3,6,12,24,48,96

ובגירסתו המודרנית:

a=0.4+0.3\times2^{k}

כאשר k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

כאשר a הינו המרחק של כוכב הלכת מהשמש ביחידות אסטרונומיות (בקרוב, המרחק הממוצע בין כדור הארץ לשמש).

לחוק טיטוס-בודה היו השלכות חשובות לגבי חיפוש כוכבי לכת נוספים במערכת השמש (ראו להלן).

חוק טיטוס בודה וכוכבי הלכת

בעת שהתגלה חוק טיטוס-בודה, היו ידועים רק כוכבי הלכת כוכב חמה, נגה, כדור הארץ, מאדים, צדק ושבתאי. בטבלה הבאה מופיעים הגופים העיקריים במערכת השמש, מרחקם החזוי ע"פ חוק טיטוס-בודה ומרחקם האמיתי מהשמש. כל המרחקים מנורמלים למרחק הממוצע של כדור הארץ מהשמש שהוא שווה בקירוב ליחידה אסטרונומית אחת.

מרחקי כוכבי הלכת ע"פ חוק טיטוס-בודה
כוכב הלכת מרחק ע"פ חוק טיטוס-בודה מרחק מהשמש

חמה

0.40

0.39

נוגה

0.70

0.72

ארץ

1.00

1.00

מאדים

1.60

1.52

חגורת אסטרואידים

2.80

2.8

צדק

5.20

5.20

שבתאי

10.0

9.54

אורנוס

19.6

19.2

נפטון

38.8

30.1

פלוטו

77.2

39.4

חוק טיטוס בודה וכוכבי לכת נוספים במערכת השמש

כאמור, חוק טיטוס בודה התגלה לפני גילויים של כוכבי הלכת אורנוס ונפטון, לפני גילוי חגורת האסטרואידים ולפני גילויה של חגורת קייפר ופלוטו.

בשנת 1781 התגלה במקרה כוכב הלכת אורנוס ע"י האסטרונום ויליהם הרשל, בשנת 1783 האסטרונום פיקסלמילנר חישב את מסלול של כוכב הלכת החדש ומצא כי מרחקו הממוצע מהשמש הוא 19.2 יחידות אסטרונומיות. מרחק זה מתאים בקירוב למרחק שנחזה ע"י נוסחת טיטוס-בודה. בשנת 1785 הציע האסטרונום וון-זאך כי ניתן יהיה למצוא את כוכב הלכת החסר ע"י חיפוש של כוכב הנע על פני רקע הכוכבים בקרבת המילקה (המישור שעליו, בקירוב, מקיפים כוכבי הלכת אתת השמש). וון-זאך החל לחפש אחר כוכב הלכת החסר ב 1787, אך הגיע חשב שהעבודה תיהיה קשה מדי בעבור איש אחד. בשנת 1800 הקים וו-זאך יחד עם האסטרונומים שרוטר, הרדינג ואולברס גוף בשם "בלשי השמיים" (Lilienthal Detectives), שמטרתו חיפוש מאורגן אחר כוכב הלכת החסר.

ב 1 בינואר שנת 1801, בעת שעבד על קטלוג כוכבים חדש, גילה האסטרונום ג'וזפה פייאז'י (Giuseppe Piazzi) כוכב בבהירות 8 בקבוצת הכוכבים שור, שאך לפני לילה היה במקום מעט שונה על פני כיפת השמיים. פייאזי עקב אחר הגוף החדש עד ל 11 בפברואר 1801, בתאריך זה נאלץ להפסיק את התצפיות כתוצאה ממחלה קשה שתקפה אותו. פייאזי שלח מכתבים בדבר הגוף החדש למספר מצפים אירופאים, אך כי יש לציין כי חשב שמדובר בשביט. וון-זאך קיבל גם הוא את מכתבו של פייאזי ומיד יצא בהכרזה כי מדובר בכוכב הלכת החסר וזו על סמך העובדה כי מהירותו הזוויתי בשמיים של הגוף החדש התאימה לזו שהיינו מצפים עבור כוכב לכת בין מאדים וצדק (ראו: חוקי קפלר). בינתיים הגוף החדש אבד בשמיים מאחר ומסלולו עדין לא היה ידוע. על מנת לפתור את הבעיה, המתמטיקאי והסטרונום קארל פירדריך גאוס פיתח סט של שיטות כלליות (וכן את שיטת הריבועים המינמליים) למציאת המסלול של גוף המקיף את השמש על סמך תצפיות. גאוס חישב את מיקומו החזוי של הגוף החדש והלה אכן נמצא בלילה האחרון של שנת 1801. מרחקו של הגוף החדשמהשמש, שנקרא קרס (Ceres) הוא 2.767 יחידות אסטרונומיות - קרוב למה שנחזה ע"י חוק טיטוס בודה. קרס למעשה הינו קטן מאד (קוטרו כ 1000 ק"מ) ומאז מאז למעשה נמצאו מאות אלפי עצמים (קטנים יותר) המקיפים את השמש במסלולים דומים לזה של קרס. הגופים הללו קרויים אסטרואידים, ככל הנראה שאריות מהיווצרות מערכת השמש שלא צלחו ביצירת כוכב לכת כתוצאה מהשפעתו הכבידתית הגדולה של צדק (ראו גם רזוננס ורווחי קירקווד).

בתחילת המאה ה-19 התחילו להצטבר עדויות כי מסלולו של כוכב הלכת אורנוס איננו מתנהג כפי שנחזה ע"י חוקי ניוטון. אחת האפשרויות שהעולתה היתה כי כוכב לכת נוסף, במסלול חיצוני לזה של אורנוס, מפריע את מסלולו של אורנוס וגורם לסטיות הנצפות במסלולו. בשנת 1846 לאחר שנים של עבודה יסודית וחישובים מסובכים הצליחו האסטרונומים ג'ון אדאמס (John Couch Adams) וג'ין לבריאר (Jean Joseph Leverrier) לחשב, כל אחד באופן בלתי תלוי, את מיקומו החזוי של כוכב לכת נוסף במערכת השמש הגורם להפרעות הנצפות במסלולו של אורנוס. כוכב הלכת החדש נמצא לבסוף בשנת 1846 במרחק זוויתי של פחות ממעלה ממיקומו החזוי. תגלית זו היוותה את אחד הניצחונות הגדולים של המכניקה הניוטונית. יש לציין כי השניים הניחו בחישוביהם כי מרחקו של כוכב הלכת החדש מהשמש ניתן ע"י סדרת טיטוס בודה (כ 39 יחידות אסטרונומיות). בפועל הסתבר גי כוכב הלכת החדש, הקרוי נפטון, נמצא במרחק של כ 30.1 יחידות אסטרונומיות מהשמש. מסיבות שונות למרחק המדויק של כוכב הלכת מהשמש היתה השפעה קטנה על התחזית לגבי מיקומו (למאמר מורחב בנושא גילוי של כוכב הלכת נפטון ראו ערך: נפטון).

המשמעות הפיזקלית של חוק טיטוס בודה

המשמעות הפיזקאלית של נוסחת טיטוס-בודה אינה ברורה ומעבודות שבדקו את הנושא עולה האפשרות שההתאמה של מיקום כוכבי הלכת לנוסחא זו הינה אקראית. בכל מקרה המרחקים של כוכבי הלכת מהשמש אינם אקראיים במובן שבעת יצירתם כוכבי הלכת ניקו (ע"י העפה החוצה, וספיחה) את הסביבה שלהם מכל הגופים הקטנים יותר ששהו במסלול דומה. אזור הניקוי של כל כוכב לכת תלוי כאמור במסתו ומסת כוכבי הלכת האחרים, מרחקם מהשמש ורזוננסים.

חוק דרמוט

חוק דרמוט (באנגלית: Dermot Law) הוא חוק אמפירי (המבוסס על תצפיות), הדומה לחוק טיטוס בודה ומנבא את זמני המחזור של ירחים סביב כוכבי הלכת שלהם.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק