מספר המקורות כתלות בבהירות

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר המקורות כתלות בבהירות או מבחן לוג אנ- לוג אס (באנגלית: Source Number Count function או Log N-Log S Test) היא פונקציה הסופרת את מספר המקורות שבהירותם הנראית גדולה משטף גבולי כל שהוא. ספירת מספר המקורות (מסוג מסוים, למשל גלקסיות או כוכבים) בשמיים עשויה לספק לעיתים מידע על התפלגותם כתלות במרחק, אבולוציה של פונקצית הבהירות שלהם או הגאומטריה המרחבית של היקום (ראו: מדידת מרחק בקוסמולוגיה).

פונקצית מספר המקורות כתלות בבהירות עומדת גם בבסיסו של הפרדוקס של אולברס.

הגדרה מתמטית

נתחיל בדיון במקרה הפשוט ביותר ונעבור למקרים המסובכים יותר.

התפלגות הומוגנית של המקורות במרחב אוקלידי

שטף האור, S, ממקור בעל הארה, L, הממוקם במרחק r מצופה, מתקבל מתוך הקשר

S=\,\frac{L}{4\pi r^2}

מכאן נקבל שהמרחק המקסימלי שאליו ניתן לראות מקורות הבהירים משטף S הוא:

r_{max}=\alpha\,S^{-1/2}

כאשר α הינו קבוע פרופורציה המקשר בין הבהירות והמרחק. כאן אנו מניחים כי כל המקורות באותה בהירות, אבל כפי שנראה בהמשך הנחה זו אינה חשובה.

בהינתן צפיפות מקורות קבועה ρ ליחידת נפח וגאומטריה אוקלידית, מספר המקורות עד מרחק rmax ניתן ע"י (נפח של כדור):

N=\,\int_{0}^{r_{max}}{4\pi\rho r^{2}dr}=\,\frac{4}{3}\pi\rho r_{max}^{3}

אם נחליף את המרחק בשטף הקרינה S אזי נקבל כי מספר המקורות שבהירותם גדולה מ S ניתן ע"י:

N(>S)=\,\frac{4}{3}\pi\rho \Big(\frac{S}{\alpha}\Big)^{-3/2}

התוצאה החשובה בביטוי זה הינה שסה"כ מספר המקורות הבהירים מ S מתכונתי ל S-3/2.

ניתן גם להחליף את שטף הקרינה S בבהירות (ביחידות של מגניטוד) m. במקרה זה נקבל:

N(>S)\propto\,10^{-0.6m}

תלות בפונקצית הארה

פונקצית הארה מבטאת את מספר המקורות ליחידת בהירות מוחלטת. מספר המקורות כתלות בבהירות איננו תלוי בפונקצית הארה - ניתן להשתכנע שכך הדבר אם נבצע את התרגיל הקודם לכל אוסף של מקורות עם בהירות מוחלטת שונה (קרי α שונה) אזי נקבל את אותו יחס פרופורציה וסיכום של כל יחסי הפרופורציה הנ"ל יתן תלות ב-S הזהה למצב הקודם:

N(>S)\propto\,S^{-3/2}

צפיפות מקורות התלויה במרחק

במידה וצפיפות המקורות תלויה במרחק (או שפונקציית הארה תלויה במרחק), אזי חוק החזקה של מספר המקורות כתלות בבהירות עשוי להיות שונה מ -3/2. למשל, עבור צפיפות מקורות אשר תלויה במרחק ע"י חוק החזקה:

\rho=\,\rho_{0}r^{\beta}

כאשר ρ0 היא צפיפות המקורות ב r=0, נקבל:

N(>S)=\,\frac{4}{3}\pi\rho_{0} \Big(\frac{S}{\alpha}\Big)^{-(3+\beta)/2}

השפעת הגאומטריה של היקום

הנפח בקורדינאטות נעות (קו כחול) ונפח של כדור (קו אדום מקווקו) כתלות במרחק הארה. מרחק הארה והנפח מחושבים עבור "קוסמולוגיה סטנדרטית".

עבור גאומטריה לא אוקלידית, שתי הנחות שעשינו קודם הינן שגויות. ראשית, עוצמת האור דועכת עם ריבוע מרחק הארה ולא עם מרחק "כלשהו". בנוסף, נפח היקום עד רדיוס r איננו ניתן ע"י הנוסחא לנפח כדור.

לדוגמא, באיור משמאל מוצג הנפח בקורדינאטות נעות (קו כחול) ונפח של כדור (קו אדום מקווקו) כתלות במרחק הארה. מרחק הארה והנפח מחושבים עבור "קוסמולוגיה סטנדרטית" (Ωm=0.27 ו ΩΛ=0.73).

על כן בגאומטריה לא אוקלידית מספר המקורות כתלות בבהירות עשוי להתנהג בצורה מורכבת יותר.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק