פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות או פונקציות היפרבוליות (באנגלית: Hyperbolic Trigonometric Functions) הן משפחה של פונקציות המוגדרות ע"י הקשרים הבאים.

סינוס היפרבולי (Hyperbolic Sine) מוגדר ע"י:

\sinh(x)=\,\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}

קוסינוס היפרבולי (Hyperbolic Cosine) מוגדר ע"י:

\cosh(x)=\,\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}

טנגנס היפרבולי (Hyperbolic Tangent) מוגדר ע"י:

\tanh(x)=\,\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\,\frac{\exp(2x)-1}{\exp(2x)+1}

קשרים נוספים

כמו כן מתקיימים הקשרים הבאים:

\sinh(-x)=\,-\sinh(x)

\cosh(-x)=\,\cosh(x)

\tanh(-x)=\,-\tanh(x)

\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=\,1

\tanh^{2}(x)+\frac{1}{\cosh^{2}(x)}=\,1

\cosh(x)+\sinh(x)=\,e^{x}

\cosh(x)-\sinh(x)=\,e^{-x}

\sinh(2x)=\,2\sinh(x)\cosh(x)

\cosh(2x)=\,\cosh^{2}(x)+\sinh^{2}(x)

פונקציות הפוכות

את הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות ניתן לבטא גם ע"י הביטויים הבאים:

\sinh^{-1}(x)=\,\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})

\tanh^{-1}(x)=\,\frac{1}{2}\ln\Big(\frac{1+x}{1-x}\Big)

עבור x\ge 1 ניתן לרשום: \cosh^{-1}(x)=\,\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})

נגזרות

הנגזרות של הפונקציות ההיפרבוליות הן:

\frac{d}{dx}\sinh(x)=\,\cosh(x)

\frac{d}{dx}\cosh(x)=\,\sinh(x)

\frac{d}{dx}\tanh(x)=\,1-\tanh^{2}(x)=\,\frac{1}{\cosh^{2}(x)}

והנגדרות של הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות:

\frac{d}{dx}\sinh^{-1}(x)=\,\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

\frac{d}{dx}\cosh^{-1}(x)=\,\frac{\pm 1}{\sqrt{x^{2}-1}}

\frac{d}{dx}\tanh^{-1}(x)=\,\frac{1}{1-x^{2}}


ראו גם

הרצאות וידראו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק