רדיוס לרמור

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

רדיוס לרמור (באנגלית: Larmor radius) או רדיוס הציקלוטרון (באנגלית: Cyclotron Radius) או רדיוס הג'ירו (באנגלית: Radius of Gyration) הינו הרדיוס של מסלול מעגלי של חלקיק טעון בנוכחות שדה מגנטי אחיד וקבוע.

נספח מתמטי

כל הגדלים והנוסחאות מבוטאים במערכת היחידות cgs.

ניתן לקבל את רדיוס לרמור מהשוואת וקטור כח לורנץ הפועל על חלקיק בעל מטען q הנע בשדה מגנטי בעוצמה B ובמהירות v:

\vec{F}=\,q(\vec{E}+\frac{1}{c}\vec{v}\times\vec{B})

כאשר, c מהירות האור, E שדה חשמלי ונניח כי עוצמתו שווה לאפס,

עם הכח הצנטרופוגלי:

F=\,\frac{mv^{2}}{r}

ואז רדיוס לרמור ניתן ע"י:

r_{L}=\,\frac{mcv_{r}}{|q|B}=\,0.0057\Big(\frac{v_{r}}{1\,{\rm km\,s}^{-1}}\Big)\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-1}~{\rm cm}

כאשר m הינו מסת החלקיק, vr רכיב המהירות של החלקיק בתנועה המעגלית, q מטען החלקיק ו B עוצמת השדה המגנטי.


תדירות הציקלוטרון

הזמן שלוקח לחלקיק להשלים סיבוב אחד הינו:

t_{r}=\,\frac{2\pi r_{L}}{v_{r}}=\,\frac{2\pi mc}{|q|B}

ועל כן תדירות הסיבוב, הקרויה גם תדירות הציקלוטרון (Cyclotron Frequency) היא:

\nu_{c}=\,\frac{|q|B}{2\pi mc}=\,2.80\times10^{6}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)\Big(\frac{m}{m_{e}}\Big)^{-1}\,{\rm Hz}=\,1.52\times10^{3}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)\Big(\frac{m}{m_{p}}\Big)^{-1}\,{\rm Hz}

כאשר me הינו מסת האלקטרון ו mp מסת הפרוטון. תדירות זו היא גם תדירות הקרינה הנפלטת מהחלקיק עקב התנועה הסיבובית בשדה המגנטי.

הכללה למקרה היחסותי

ראו מאמר מורחב בנושא: קרינת סינכרוטרון.

כאשר החלקיק נע במהירות יחסותית יש להחליף את התנע הקוי mv בתנע היחסותי, \gammamv, ואז m היא מסת המנוחה של החלקיק. ותדירות הסיבוב המתקבלת:

\nu_B=\frac{|q|B}{2\pi\gamma mc}=\frac{\nu_c}{\gamma}

עקב אפקט דופלר היחסותי תדירות הקרינה שתימדד תלויה בזווית הצופה יחסית לכוון תנועת החלקיק. במהירויות הקרובות למהירות האור (\gamma>>1) רוב הקרינה נפלטת באלומה צרה בכוון תנועת החלקיק בעלת זוית פתיחה של \gamma^{-1} (ראה אפקט האלומה). לכן צופה שניצב במישור הסיבוב של החלקיק יראה פעימה של אור בכל פעם שאלומת האור תחצה את קו הראיה שלו, בדומה להארת מגדלור בלילה חשוך. כלומר בניגוד למקרה הלא יחסותי, בו צופה יחזה בקרינה רציפה הנפלטת מכל {2\pi} הזויות של מסלול התנועה המעגלי, במקרה היחסותי כל צופה יראה רק \gamma^{-1} מכלל המסלול. נוסף על כך, עקב אפקט דופלר היחסותי הפעימה הנצפית נדחסת בשיעור של ~ \gamma^{2}. לכן סה"כ הזמן שתימשך כל פעימה, כפי שימדוד הצופה, יקוצר פי \gamma^{3} מזמן הסיבוב של החלקיק. כדי לקבל את תדירות האור הנמדדת יש לבצע התמרת פורייה ממרחב הזמן למרחב התדירויות. מכיוון שמשך זמן הפעימה סופי, המרה כזו נותנת רצף של תדירויות, במקום תדירות אחת המתקבתלת במקרה הלא יחסותי. אף על פי כן, ניתן להעריך את תדירות ההקרינה האופיינית כ:

\nu_{s}=\gamma^{3}\nu_B\cong\,2.8\times10^{6}\gamma^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big(\frac{m}{m_{e}}\Big)^{-1}~{\rm Hz}

תדירות זאת נקראת תדירות הסינכרוטרון.

ראו גם

הרצראות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק, עמר ברומברג