שאלה:כיצד ניתן למדוד את המרחק בין השמש לירח?

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה: שאלה: כיצד ניתן למדוד את המרחק בין השמש לירח?

שם השואל/ת: מנחם בר

תאריך: 29-03-2010

הקדמה

לפני שנענה על התשובה מספר הערות על המרחקים האופיינים בין השמש, הירח וכדור הארץ. הירח מקיף את כדור הארץ במסלול אליפטי אחת לחודש סינודי. מרחקו הממוצע של הירח מהארץ הינו כ 384,400 ק"מ, אך כתוצאה מאקסצנטריות המסלול של הירח (כ 0.055), מרחק זה משתנה בפלוס מינוס כ-21,000 ק"מ.

כדור הארץ מקיף את השמש במסלול אליפטי אחת לשנה. מרחקו הממוצע של כדור הארץ מהשמש הינו כ 150 מיליון ק"מ, אך כתוצאה מאקסצנטריות המסלול של כדור הארץ (כ 0.016) מרחק זה משתנה בכ 2.4 מיליון ק"מ מהממוצע.

על כן מרחק הירח מהשמש משתנה בעיקר כתוצאה מאקסצנטריות המסלול של הארץ. אם כן על מנת לענות על השאלה, נוח יותר לענות על שתי שאלות נפרדות:

1. כיצד מודדים את המרחק של הירח מכדור הארץ.

2. כיצד מודדים את המרחק של השמש מכדור הארץ.

תשובה

ניתן למדוד מרחקים בין כדור הארץ לגופים במערכת השמש במספר דרכים. חלק מהדרכים הללו גאומטריות, חלק פיזיקליות-גאומטריות וחלקן פיזיקליות. כל דרך שנבחר דורשת ידע קודם מסוים. נביא מספר דוגמאות שכל אחת מהן דורשת ידע מסוים ולאחר מכן נסביר כיצד מרחקים אלו נאמדו בעבר וכיצד ניתן להעריך אותם כיום:

1. במידה ואנו יודעים לגזור פיזיקלית את החוק השלישי של קפלר ואנו יודעים את ערכם של קבוע הכבידה העולמי ומסת השמש ממדידת זמן המחזור של כדור הארץ סביב השמש ניתן למדוד את המרחק הממוצע בין כדור הארץ לשמש. כל שעלינו לעשות הוא להציב את המספרים הללו בחוק השלישי של קפלר.

2. במידה ואנו יודעים את ערכה של מהירות האור ניתן למדוד את המרחק בין כדור הארץ לשמש באמצעות מדידת זמני הליקויים של ירחי צדק בצדק (ראו: ירחי צדק - תצפית בהתכסויות, ליקויים, תופעות הדדיות ומיקום והסבר היסטורי במאמר על מהירות האור). מאחר וכדור הארץ נע סביב השמש הוא מתרחק ומתקרב מצדק באופן מחזורי. מאחר והאור נע במהירות סופית אזי כאשר כדור הארץ מתרחק מצדק לוקח לאור זמן רב יותר להגיע לארץ ונראה כאילו מחזור ההקפה של ירחי צדק סביב צדק ארוך יותר (מהממוצע). וזמן מחזור זה הינו קצר יותר כאשר כדור הארץ מתקרב לצדק. במאה ה-17 אול רומר (Ole Rømer) עשה שימוש בשיטה זו לאמוד את מהירות האור, אך במידה ומהירות האור ידועה, ניתן לגלות באמצעות שיטה זו את המרחק בין השמש לכדור הארץ.

3. במידה ויודעים את ערכה של מהירות האור, את תורת היחסות הפרטית ואת זמן ההקפה של כדור הארץ את השמש ע"י מדידת שינוי מיקום הכוכבים בשמים כתוצאה מתופעת האברציה של האור, אזי ניתן לאמוד את המרחק בין כדור הארץ לשמש. האברציה של האור תלויה במהירות סיבוב כדור הארץ סביב השמש ועל כן מידיעת זמן המחזור של הארץ סביב השמש ומהירותו סביב השמש (כפי שנמדדת באמצעות תופעת האברציה) אזי ניתן לעשות שימוש בחוק השלישי של קפלר לאמוד את המרחק בין כדור הארץ לשמש.

4. הירח מאד קרוב לכדור הארץ ומרחקו מכדור הארץ הינו כ 60 פעמים רדיוס כדור הארץ. השיטה הגאומטרית הפשוטה ביותר למדידת מרחק הינה שיטת הפרלקסה וניתן להפעיל אותה בקלות על הירח. כל שעלינו לעשות הוא למדוד את מיקומו של הירח ביחס לכוכבים הרחוקים משתי נקודות על כדור הארץ שאת המרחק ביניהן אנו יודעים. ההפרש הזוויתי במיקום הירח כפי שנראה בין שתי הנקודות ניתן להמרה למרחק ע"י שימוש בגאומטריה פשוטה (ראו הסבר מפורט במאמר על פרלקסה).

מבחינה היסטורית המרחק לירח ולשמש הוערך בשיטות מעט שונות מאלו ונסביר חלק משיטות אלו להלן:

מדידת המרחק בין כדור הארץ לירח באמצעות ליקוי ירח

באיור (לא בקנה מידה) השמש מסומנת בצהוב, כדור הארץ בכחול והירח באפור. ניתן לראות כי כתוצאה מכך שהשמש מצויה במרחק סופי מכדור הארץ כאשר צופה מכדור הארץ יראה את הירח מואר בדיוק כחצי עיגול, אזי מרחקו הזוויתי מהשמש שונה מעט מ 90 מעלות.
איור של הצל המלא (אזור אדום), הצל החלקי (אזור ירוק) ונקודת המגע השונות של הירח בצל כדור הארץ.


במאה השלישית לפני הספירה אריסטראכוס מסאמוס מדד את המרחק בין כדור הארץ לירח באמצעות השיטה המפורטת להלן.

ראשית יש להראות כי המרחק בין כדור הארץ לשמש גדול בהרבה מהמרחק בין כדור הארץ לירח. זאת ניתן לעשות ע"י מדידת המרחק הזוויתי בין השמש לירח בעת שהחלק המואר של הירח הינו בדיוק חצי. באיור משמאל (לא בקנה מידה) השמש מסומנת בצהוב, כדור הארץ בכחול והירח באפור. ניתן לראות כי כתוצאה מכך שהשמש מצויה במרחק סופי מכדור הארץ כאשר צופה מכדור הארץ יראה את הירח מואר בדיוק כחצי עיגול אזי מרחקו הזוויתי מהשמש שונה מעט מ 90 מעלות.

נסמן את המרחק בין כדור הארץ לשמש ב d_{\odot}, את המרחק בין כדור הארץ לירח ב d_{m}, ואת המרחק הזוויתי בין השמש לירח כאשר הירח נראה כחצי עיגול ב \phi. אזי:

\cos{\phi}=\,\frac{d_{m}}{d_{\odot}}

למעשה, במידה ומודדים את הזווית φ אזי ניתן לאמוד את מרחק כדור הארץ מהשמש ביחידות של מרחק הירח מכדור הארץ. אריסטראכוס העריך כי הזווית הנ"ל הינה כ 87 מעלות, אך הערכה זו היתה מוגזמת וערכה האמיתי של הזווית הנ"ל היא 89.8529 מעלות (90 מעלות פחות 8.8 דקות קשת). בכל מקרה העובדה כי הזווית הנ"ל קרובה ל 90 מעלות משמעותה כי המרחק בין כדור הארץ לשמש גדול בהרבה מהמרחק בין כדור הארץ לירח:

d_{\odot}\gg\,d_{m}

השלב הבא בחישובו של אריסטראכוס היה למדוד את קוטרו של חרוט הצל של כדור הארץ, שמטיל כדור הארץ על הירח, ביחידות של רדיוס הירח בעת ליקוי ירח. האיור משמאל מראה את תנועת הירח בתוך ההטל של חרוט הצל המלא והחלקי של כדור הארץ בעת ליקוי (ראו מאמר מורחב בנושא: ליקוי ירח).

בנוסף, אריסטראכוס עשה שימוש בעובדה כי קוטרו הזוויתי של הירח \theta_{m} הינו דומה מאד לקוטרה הזוויתי של השמש \theta_{\odot}. עובדה זו ידועה מתצפיות בליקוי חמה.

עובדה זו משמעותה כי (בקרוב של זוויות קטנות):

\theta_{\odot}\cong\,\frac{R_{\odot}}{d_{\odot}}\cong\,\frac{R_{m}}{d_{m}}\cong\,\theta_{m}

כאשר R_{m} ו R_{\odot} הינם רדיוסי הירח והשמש, בהתאמה והרדיוסים הזוויתיים נמדדים ברדיאנים.

משיקולים של דימיון משולשים, ניתן להראות כי אורך חרוט הצל של כדור הארץ ניתן ע"י:

d_{p}=\frac{R_{\oplus}d_{\odot}}{R_{\odot}-R_{\oplus}}\cong\,\frac{R_{\oplus}d_{\odot}}{R_{\odot}}

כאשר R_{\oplus} הינו רדיוס כדור הארץ. בחלק של הביטוי מימין עשינו שימוש בעובדה כי המרחק בין כדור הארץ לשמש גדול בהרבה מהמרחק בין כדור הארץ לירח.

פעם נוספת, באמצעות דימיון משולשים ניתן להראות כי רדיוס חרוט הצל של כדור הארץ, במרחק של הירח מכדור הארץ ניתן ע"י:

R_{p}=\frac{R_{\oplus}}{d_{p}}(d_{p}-d_{m})

אם נציב בביטוי האחרון את הביטוי המקורב עבור אורך חרוט הצל ונשתמש בביטוי עבור הרדיוסים הזוויתיים, נקבל:

R_{p}\cong\,R_{\oplus} - d_{m}\theta_{\odot}=\,R_{\oplus}-R_{m}

עתה, בעת ליקוי ירח מלא מרכזי (כשהירח עובר בדיוק במרכז חרוט הצל המלא) יש למדוד את רדיוס חרוט הצל המלא של הירח ביחידות של רדיוס הירח. ניתן לעשות זאת ע"י מדידת הזמן שלוקח לירח להיכנס לצל המלא ומדידת הזמן שלוקח לירח לחצות את הצל המלא. נסמן את רדיוס חרוט הצל שממדנו ביחידות של רדיוס הירח ב k ונקבל מהביטוי האחרון:

kR_{m}\cong\,R_{\oplus}-R_{m}

ועל כן:

R_{m}\cong\,\frac{R_{\oplus}}{1+k}

לבסוף עלינו למדוד את רדיוסו הזוויתי של הירח (ברדיאנים) ואז נוכל לרשום את המרחק לירח ביחידות של רדיוס כדור הארץ:

d_{m}=\frac{R_{m}}{\theta_{m}}\cong\,\frac{R_{\oplus}}{\theta_{m}(1+k)}

עוד נציין כי היקף כדור הארץ (ועל כן הרדיוס) היה ידוע ליוונים ממדידות שערך ארטוסתנס במאה השלישית לפני הספירה. ארטוסתנס ערך את מדידותיו באמצעות מדידת זווית הגובה של השמש מעל האופק (בזמן שהיא בשיא גובהה בשמיים) משני אתרים המצויים על אותו קו אורך ושהמרחק ביניהם על פני כדור הארץ, d, ידוע. במקרה זה משיקולים גאומטרים פשוטים נובע כי:

R_{\oplus}=\,\frac{d}{\phi}

כאשר φ הינה ההפרש בין זווית הגובה הנמדדת בשני האתרים.

ראו גם הסברים נוספים בהרצאות הוידאו המקושרות.

מדידת מרחק השמש מכדור הארץ

שיטה היסטורית אחת שיושמה ע"י אריסטראכוס הוזכרה בסעיף הקודם. שיטה מעניינת שבה נעשה שימוש במאות ה-18 וה-19 הינה באמצעות תצפית במעברים של נגה על פני השמש.

השיטה הנ"ל מאמצת את העובדה כי אנו יודעים את חוקי קפלר ועושה שימוש בתיזמון השעה המדויקת שבה נכנס (או יוצא) נגה לשפת השמש כפי שנראה במקומות שונים על כדור הארץ שהמרחק ביניהם ידוע. תיזמון זה מאפשר מדידת פרלקסה לנגה (ביחס לשמש), או במילים אחרות הוא מאפשר חילוץ יחס המרחקים כדור הארץ-נגה לארץ-שמש. כמו כן ניתן לקבל משוואה נוספת עבור יחס המרחקים הנ"ל (כאשר היחס הנ"ל מופיע בחזקת 3/2) באמצעות חוקי קפלר ממדידת זמן המחזור של נגה והארץ סביב השמש. כל שנותר לעשות הוא לפתור שתי משוואות בשני נעלמים.

את השיטה הציע האסטרונום האנגלי המפורסם אדמונד האלי ב 1716. האסטרונומים השתמשו בה בזוג המעברים שהתרחש בשנים 1761 ו- 1769.

ראו מאמר מורחב בנושא: טרנזיט.

מדידות מודרניות

מדידות מודרניות עושות שימוש בו זמני בתצפיות רבות מסוגים שונים, כגון מיקום כוכבי הלכת בשמיים, מדידות מרחק לכוכבי הלכת באמצעות מכ"מ, תיזמון פולסים של פולסארים ועוד, וכן בחוקי המכניקה מתוקנים לאפקטים הנובעים מתורת היחסות הכללית. כל סוגי המדידות הנ"ל משוקללות יחדיו על מנת לפתור באופן מדויק את כל הפרמטרים החופשיים בבעיה, ביניהם המרחקים בין הגופים השונים במערכת השמש.

כיום אנו יודעים את המרחק בין כדור הארץ לשמש בדרגת דיוק של פחות ממטר בודד (דיוק יחסי של כ-10-9).

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

מחברים


ערן אופק