תנע זוויתי

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תנע זוויתי (באנגלית: Angular Momentum), מסומן באות L, הוא גודל פיסיקלי המתאר תנועה סיבובית של גוף או גופים. במערכת שעליה לא פועל מומנט כח חיצוני, התנע הזוויתי הינו גודל נשמר (ראו הסתיגויות בהמשך) - קרי הוא איננו משתנה בזמן. בצורה הפשוטה ביותר, התנע הזוויתי הוא מכפלה המסה של הגוף ברדיוס הסיבוב ובמהירות. שימור התנע הזוויתי משמעותו שאם לדוגמא נגדיל את רדיוס הסיבוב אזי מהירות הסיבוב תקטן ואילו אם נקטין את רדיוס הסיבוב אזי מהירות הסיבוב תגדל. כך למשל רקדנית המחליקה על קרח ופותחת את ידיה, מאיטה את קצב סיבובה סביב צירה. באופן דומה, כוכב הקורס לכוכב ניוטרונים (ראו גם: סופרנובה), ולא מאבד תנע זוויתי, יסתובב מהר יותר סביב צירו. נציין כי במקרה הכללי, במסגרת תורת היחסות הכללית תנע זוויתי איננו גודל נשמר ואילו במסגרת מכניקת הקוונטים התנע הזוויתי הינו מקוונטט.

התנע הזוויתי הינו גודל וקטורי שלו ממדים של מסה כפול אורך בריבוע ליחידת זמן. וקטור התנע הזוויתי "מצביע" בכיוון ציר הסיבוב של המערכת (על פי כלל הבורג הימני).

הגדרה מתמטית

וקטור התנע הזוויתי מוגדר עבור גוף דיסקרטי כ:

\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}

כאשר r הינו המרחק מציר הסיבוב, m היא מסתו של הגוף ו v מהירותו וכאשר הסימן x מייצג מכפלה וקטורית.

עבור גוף צפיד (גוף קשיח שחלקיו לא יכולים לזוז זה ביחס לזה) התנע הזוויתי ניתן ע"י אינטגרציה מרחבית של הביטוי האחרון:

\vec{L}=\,\int{(\vec{r}\times \vec{v} )dm}\equiv I\vec{\omega}

כאשר I הינו מומנט ההתמד ו ω הינה מהירות הסיבוב הזוויתית:

\omega=\frac{2\pi}{P}

כאשר P הינו זמן מחזור הסיבוב.

מומנט ההתמד מוגדר ע"י:

I=\,\int{r^{2}dm}

והוא מהווה מדד לכמה קשה לשנות את המהירות הסיבובית של הגוף (בהקבלה למסה של גוף שמהווה מדד לכמה קשה לשנות את המהירות הקווית של הגוף).

שימור התנע הזוויתי

שימור התנע הקווי (m\vec{v}) נגזר מתוך החוק השני של ניוטון שקובע כי:

\vec{F}=\,\frac{d(m\vec{v})}{dt}

מכאן שהתנע הקווי נשמר כאשר סך כל הכוחות הפועלים על הגוף מתאפס.

ניתן לנסח חוק מקביל עבור תנועה סיבובית ע"י גזירת התנע הזוויתי ביחס לזמן ובשימוש בכללי המכפלה הוקטורית:

\frac{d\vec{L}}{dt}=\,m\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{v}+ m\vec{r}\times\frac{d\vec{v}}{dt}=\,m \vec{r}\times\frac{d\vec{v}}{dt}\,\equiv \vec{N}

שימו לב כי האבר הראשון התאפס מאחר ו: \frac{d\vec{r}}{dt}=\,\vec{v}

ומכפלה וקטורית של וקטורים שווים בכיוונם היא אפס. N נקרא מומנט הכח (באנגלית: Torque) והוא מוגדר ע"י:

\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}.

התנע הזוויתי נשמר, אם כך, כאשר N=0.

במקרה הכללי ביותר בתורת היחסות הכללית תנע זוויתי איננו גודל נשמר.

תנע זוויתי בתנועה דו-גופית

בתנועה דו-גופית התנע הזוויתי של גוף משני שמסתו m ברכיבי x, y ו z ניתנת ע"י:

L_{x}=\,m\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a(1-e^{2})}\sin{i}\sin{\Omega}

L_{y}=\,-m\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a(1-e^{2})}\sin{i}\cos{\Omega}

L_{z}=\,m\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a(1-e^{2})}\cos{i}


כאשר i נטיית המסלול, a חצי הציר הארוך של המסלול, Ω אורך הקשר העולה, e אקסצנטריות המסלול (ראו: אלמנטים של מסלול), G קבוע הכבידה העולמי של ניוטון, M מסת הגוף הראשי ו m מסת הגוף המשני.

שימור תנע זוויתי בגוף צפיד ופרסציה

ראו מאמר מורחב בנושא: פרסציה.

עבור גוף צפיד (גוף שכל חלקיו אינם נעים זה ביחס לזה, קרי גוף קשיח) ניתן לרשום את משוואת התנועה של הגוף ע"י:

\frac{dL'}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{L}=\vec{N}

כאשר L הינו וקטור התנע הזוויתי של הגוף ω הינו וקטור התדירות הזוויתית של הגוף ו N הינו וקטור מומנט הכח הפועל על הגוף. האיבר \frac{dL'}{dt} מייצג את תרומת השינוי בזמן של L ללא התחשבות בשינוי כוון ציר הסיבוב (קרי הערך המוחלט של L), ואילו \vec{\omega}\times\vec{L} מייצג את תרומת השינוי בזמן של כוון הציר.

ממשוואה זו ניתן לחלץ את משוואות אוילר עבור כל אחד מהצירים הראשיים של הגוף המסומנים עם אינדקסים 1, 2 ו-3.

I_{1}\dot{\omega}_{1}-\omega_{2}\omega_{3}(I_{2}-I_{3})=\,N_{1}

I_{2}\dot{\omega}_{2}-\omega_{3}\omega_{1}(I_{3}-I_{1})=\,N_{2}

I_{3}\dot{\omega}_{3}-\omega_{1}\omega_{2}(I_{1}-I_{2})=N_{3}

כאשר I1, I2 ו- I3 הם מומנטי ההתמד של הגוף הצפיד לאורך שלושת ציריו הראשיים. ω הם תדירויות הסיבוב של הגוף סביב כל אחד משלושת הצירים הראשיים, ו N הם מומנטי הכח הפועלים על כל אחד מהצירים הראשיים.

ניתן לפתור את המשוואות הנ"ל עבור המקרה שבו לא פועלים על הגוף מומנטי כח חיצוניים N=0, אזי עבור גוף שבו ממונטי ההתמד I_{1}=I_{2} (למשל אליפסואיד פחוס: Oblate) ובעל תדירות סיבוב זוויתי ω3 סביב צירו, תדירות הסיבוב של הפרסציה החופשית Ω המתקבלת היא:

\Omega=\frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}}\omega_{3}

התנע הזוויתי של מערכת השמש

בטבלה הבאה מופיע התנע הזוויתי של הגופים העיקריים במערכת השמש וכן את התנע הזוויתי שלהם באחוזים ביחס לסה"כ התנע הזוויתי של הגופים הנ"ל. ניתן לראות כי כוכבי הלכת הענקים אחראים לכ 99.8% מהתנע הזוויתי של מערכת השמש. על כן מישור מערכת השמש נשלט ע"י המסלולים של כוכבי הלכת הענקיים. התנע הזוויתי הכללי של מערכת השמש, כולל סיבוב עצמי ואת הגופים הקטנים במערכת השמש (למשל אסטרואידים), הינו כ-3.148\times10^{50}\,{\rm gr\,cm}^{2}\,{\rm s}^{-1}

תנע זוויתי של הגופים העיקריים במערכת השמש
גוף תנע זוויתי [{\rm gr\,cm}^{2}\,{\rm s}^{-1}] תנע זוויתי באחוזים ביחס לתנע הזוויתי הכולל
השמש 2.09\times10^{47} 0.066%
כוכב חמה 9.19\times10^{45} 0.0029%
נגה 1.84\times10^{47} 0.059%
כדור הארץ 2.66\times10^{47} 0.085%
מאדים 3.53\times10^{46} 0.011%
צדק 1.93\times10^{50} 61.48%
שבתאי 7.82\times10^{49} 24.92%
אורנוס 1.70\times10^{49} 5.40%
נפטון 2.50\times10^{49} 7.98%

תנע זוויתי של כוכב ניוטרונים

פולסארים נצפים עם זמני מחזור קצרים במיוחד. ככל הנראה זמן המחזור האופייני שאיתו נולדים פולסארים הינו מסדר גודל של כ 10 אלפיות השנייה. הערוץ העיקרי ליצירת כוכבי ניוטרונים המסתובבים במהירות סביב צירם (פולסארים) הוא בסופרנובה מסוג קריסת ליבה. בארוע כזה ענק אדום או ענק מסוג אחר קורס ליצירת כוכב ניוטרונים. הסיבוב המהיר של פולסארים מתקבל מתוך חוק שימור התנע הזוויתי.

אפשר להראות כי זמן המחזור של גוף צפיד בעל צפיפות אחידה המסתובב סביב צירו במחזור P הוא:

P=\,\frac{4\pi}{5}\frac{1}{L}MR^{2}

כאשר L הינו התנע הזוויתי של הכוכב, M מסתו ו R רדיוסו. כתוצאה מחוק שימור התנע הזוויתי אנו רואים כי זמן המחזור מתכונתי לרדיוס הכוכב בריבוע.

לדוגמה: במקרה של ענק אדום המסתובב סביב צירו במחזור של כ 100 יום ולו ליבה ברדיוס כשליש רדיוס שמש הקורסת לכוכב נויטרונים בעל רדיוס כ-10 ק"מ. שימור תנע זוויתי יתן מהירות סיבוב סביב הציר של כוכב הנויטרונים בערך של כ-30 אלפיות השניה.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק