הבדלים בין גרסאות בדף "הפרמטר של טיסראנד"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(שימושים)
(שימושים)
 
(12 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
'''הפרמטר של טיסראנד''' (באנגלית: '''Tisserand Parameter''') או '''הקריטריון של טיסראנד''' (באנגלית: '''Tisserand Criterion''') הינו פרמטר שבו נהוג לעשות שימוש לסיווג מסלולי [[שביט|שביטים]] ו[[אסטרואידים]].
 
'''הפרמטר של טיסראנד''' (באנגלית: '''Tisserand Parameter''') או '''הקריטריון של טיסראנד''' (באנגלית: '''Tisserand Criterion''') הינו פרמטר שבו נהוג לעשות שימוש לסיווג מסלולי [[שביט|שביטים]] ו[[אסטרואידים]].
 +
 +
ערכו של הפרמטר ביחס ל[[כוכב לכת]] מסוים מלמד על הקשר הדינמי של הגוף ל[[אלמנטים של מסלול|מסלול]] כוכב הלכת ועל יציבותו הדינמית של המסלול.
  
 
==הגדרה==
 
==הגדרה==
שורה 9: שורה 11:
 
כאשר i נטיית המסלול של הגוף, e [[חתכים חרוטיים|אקסצנטריות המסלול]], a חצי הציר הארוך של המסלול ו a<sub>J</sub> חצי הציר הארוך של מסלולו של צדק (5.2 [[יחידות מרחק באסטרונומיה|יחידות אסטרונומיות]]) - ראו: [[אלמנטים של מסלול]].
 
כאשר i נטיית המסלול של הגוף, e [[חתכים חרוטיים|אקסצנטריות המסלול]], a חצי הציר הארוך של המסלול ו a<sub>J</sub> חצי הציר הארוך של מסלולו של צדק (5.2 [[יחידות מרחק באסטרונומיה|יחידות אסטרונומיות]]) - ראו: [[אלמנטים של מסלול]].
  
אך יש לציין כי ניתן להגדיר את הפרמטר של טיסראנד ביחס לכל [[כוכב לכת]].
+
יש לציין כי ניתן להגדיר את הפרמטר של טיסראנד ביחס לכל [[כוכב לכת]].
  
 
==שימושים==
 
==שימושים==
  
בעריכה
+
[[תמונה:TisserandPar.jpg|שמאל|250px|ממוזער|פרמטר של טיסראנד כתלות בחצי הציר הארוך של המסלול עבור אסטרואידים (בכחול) ושביטים (באדום).]]
 +
 
 +
הפרמטר של טיסראנד ביחס לצדק, T<sub>J</sub>, משמש לסיווג של [[שביט|שביטים]]. רוב השביטים הינם בעלי <math>T_{J}<3</math>, בעוד רוב הגופים ה[[אסטרואידים]] ועצמי חגורת קייפר הינם בעלי <math>T_{J}>3</math>. יש לציין כי קיימים יוצאי דופן בשתי הקבוצות, למשל ל[[שביט אנקה]], שהוא שביט הנע במסלול עם אקסצנטריות נמוכה במערכת השמש הפנימית, פרמטר טיסראנד גדול מ 3. כמו כן, התברר כי לאסטרואידים שלהם פרמטר טיסראנד הקטן מ 3 יש התפרצויות של אבק כפי שמתרחש בשביטים, וההערכה כיום היא שמדובר בשביטים שלרוב הם רדומים הנעים בחגורת האסטרואידים.
 +
 
 +
מסלולם של עצמים בעלי <math>T_{J}<3</math> מושפע יותר מכבידת [[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] ועל כן הם בעלי מסלולים לא יציבים ואורך חיים מסלולי קצר. על כן ערך <math>T_{J}<3</math> מלמד כי גופים אלו הגיעו למצבם הנוכחי בפרקי זמנים קצרים שהם מסדר גודל שלוקח לשביט לאבד את החומרים הנדיפים על פניו (ראו: [[שביט]]).
 +
 
 +
באיור משמאל מוצג הפרמטר של טיסראנד כתלות בחצי הציר הארוך של המסלול עבור אסטרואידים (בכחול) ושביטים (באדום).
 +
 
 +
עוד נציין כי עצמים בעלי פרמטר של טיסראנד קטן מ <math>2\sqrt{2}\sim2.8</math> יכולים להיפלט מ[[מערכת השמש]] למסלול [[חתכים חרוטיים|היפרבולי]] תוך כדי מעבר בודד בקרבת הפלנטה המפריעה.
  
 
==הסבר מתמטי==
 
==הסבר מתמטי==
שורה 24: שורה 34:
 
<math>C_{J}=\,-(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+2\Big( \frac{GM}{r}+\frac{Gm_{p}}{\Delta}\Big)+2L_{z}</math>
 
<math>C_{J}=\,-(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+2\Big( \frac{GM}{r}+\frac{Gm_{p}}{\Delta}\Big)+2L_{z}</math>
  
כאשר x, y, z נמדדים במערכת צירים אינרציאלית (שלעיתים קרויה גם מערכת סידרית - ראו: [[יממה כוכבית]]), G הינו [[קבועים פיזיקלים|קבוע הכבידה העולמי]], M [[מסה|מסת]] הגוף הרשאי,  m<sub>p</sub>
+
כאשר x, y, z נמדדים במערכת צירים אינרציאלית (שלעיתים קרויה גם מערכת סידרית - ראו: [[יממה כוכבית]]), G הינו [[קבועים פיזיקלים|קבוע הכבידה העולמי]], M [[מסה|מסת]] הגוף הראשי,  m<sub>p</sub>
 
מסת הגוף השני ואילו m הינה מסת חלקיק הבוחן (הגוף השלישי שבמקרה שלנו הינו ה[[שביט]]), r
 
מסת הגוף השני ואילו m הינה מסת חלקיק הבוחן (הגוף השלישי שבמקרה שלנו הינו ה[[שביט]]), r
 
הינו המרחק בין הגוף הראשי והשלישי ואילו &Delta; בין הגוף השני והשלישי, ו H<sub>z</sub> הינו רכיב ציר ה-z של [[תנע זוויתי|התנע הזוויתי]] שניתן ע"י:
 
הינו המרחק בין הגוף הראשי והשלישי ואילו &Delta; בין הגוף השני והשלישי, ו H<sub>z</sub> הינו רכיב ציר ה-z של [[תנע זוויתי|התנע הזוויתי]] שניתן ע"י:
שורה 46: שורה 56:
 
התנאי הראשון מתקיים במידה והגוף השלישי איננו מתקרב יתר על המידה לגוף השני. במקרה ושני הגופים אכן מתקרבים, הפרמטר של טיסראנד עשוי להשתנות במידה ניכרת, אך הוא יחזור לערכו המקורי לאחר ששני הגופים יתרחקו זה מזה.
 
התנאי הראשון מתקיים במידה והגוף השלישי איננו מתקרב יתר על המידה לגוף השני. במקרה ושני הגופים אכן מתקרבים, הפרמטר של טיסראנד עשוי להשתנות במידה ניכרת, אך הוא יחזור לערכו המקורי לאחר ששני הגופים יתרחקו זה מזה.
  
התנאי השני מתקיים במידה והגוף השלישי לא מופשע כבידתית מעצם נוסף (רביעי), קרי שהבעיה מוגדרת כפיתרון של בעיית שלושת הגופים.
+
התנאי השני מתקיים במידה והגוף השלישי לא מושפע כבידתית מעצם נוסף (רביעי), קרי שהבעיה מוגדרת כפיתרון של בעיית שלושת הגופים.
תנאי נוסף הינו שהגוף השלישי והשני לא נמצאים ב[[תהודה|תהודה סקולרית]] זה עם זה. במקרה, זה עשויה להיות חשיבות לאקסצנטריות המסלולית של הגוף השני (שהנחנו כי היא אפס).
+
תנאי נוסף הינו שהגוף השלישי והשני לא נמצאים ב[[תהודה|תהודה סקולרית]] זה עם זה. במקרה זה עשויה להיות חשיבות לאקסצנטריות המסלולית של הגוף השני (שהנחנו כי היא אפס).
  
 
ניתן גם להראות כי במידה והגוף השלישי חותך את מסלול הגוף השני, אזי בנקודת החיתוך מהירות הגוף השלישי (הלא מופרעת) מתכונתית לפרמטר של טיסראנד באופן הבא:
 
ניתן גם להראות כי במידה והגוף השלישי חותך את מסלול הגוף השני, אזי בנקודת החיתוך מהירות הגוף השלישי (הלא מופרעת) מתכונתית לפרמטר של טיסראנד באופן הבא:

גרסה אחרונה מ־20:15, 11 בינואר 2010

הפרמטר של טיסראנד (באנגלית: Tisserand Parameter) או הקריטריון של טיסראנד (באנגלית: Tisserand Criterion) הינו פרמטר שבו נהוג לעשות שימוש לסיווג מסלולי שביטים ואסטרואידים.

ערכו של הפרמטר ביחס לכוכב לכת מסוים מלמד על הקשר הדינמי של הגוף למסלול כוכב הלכת ועל יציבותו הדינמית של המסלול.

הגדרה

הפרמטר של טיסראנד, TJ, ביחס לצדק מוגדר ע"י:

T_{J}=\,\frac{a_{J}}{a}+2\sqrt{\frac{a}{a_{J}}(1-e^{2})}\cos{i}

כאשר i נטיית המסלול של הגוף, e אקסצנטריות המסלול, a חצי הציר הארוך של המסלול ו aJ חצי הציר הארוך של מסלולו של צדק (5.2 יחידות אסטרונומיות) - ראו: אלמנטים של מסלול.

יש לציין כי ניתן להגדיר את הפרמטר של טיסראנד ביחס לכל כוכב לכת.

שימושים

פרמטר של טיסראנד כתלות בחצי הציר הארוך של המסלול עבור אסטרואידים (בכחול) ושביטים (באדום).

הפרמטר של טיסראנד ביחס לצדק, TJ, משמש לסיווג של שביטים. רוב השביטים הינם בעלי T_{J}<3, בעוד רוב הגופים האסטרואידים ועצמי חגורת קייפר הינם בעלי T_{J}>3. יש לציין כי קיימים יוצאי דופן בשתי הקבוצות, למשל לשביט אנקה, שהוא שביט הנע במסלול עם אקסצנטריות נמוכה במערכת השמש הפנימית, פרמטר טיסראנד גדול מ 3. כמו כן, התברר כי לאסטרואידים שלהם פרמטר טיסראנד הקטן מ 3 יש התפרצויות של אבק כפי שמתרחש בשביטים, וההערכה כיום היא שמדובר בשביטים שלרוב הם רדומים הנעים בחגורת האסטרואידים.

מסלולם של עצמים בעלי T_{J}<3 מושפע יותר מכבידת כוכבי הלכת ועל כן הם בעלי מסלולים לא יציבים ואורך חיים מסלולי קצר. על כן ערך T_{J}<3 מלמד כי גופים אלו הגיעו למצבם הנוכחי בפרקי זמנים קצרים שהם מסדר גודל שלוקח לשביט לאבד את החומרים הנדיפים על פניו (ראו: שביט).

באיור משמאל מוצג הפרמטר של טיסראנד כתלות בחצי הציר הארוך של המסלול עבור אסטרואידים (בכחול) ושביטים (באדום).

עוד נציין כי עצמים בעלי פרמטר של טיסראנד קטן מ 2\sqrt{2}\sim2.8 יכולים להיפלט ממערכת השמש למסלול היפרבולי תוך כדי מעבר בודד בקרבת הפלנטה המפריעה.

הסבר מתמטי

הפרמטר של טיסראנד הינו קרוב לגודל הקרוי הקבוע של יעקובי (Jacobi Constant). קבוע זה הינו קבוע תנועה המופיע בבעיית שלושת הגופים המצומצמת, עבור מסלול מעגלי (של הגוף השני).

הביטוי המלא עבור קבוע זה ניתן ע"י:

C_{J}=\,-(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+2\Big( \frac{GM}{r}+\frac{Gm_{p}}{\Delta}\Big)+2L_{z}

כאשר x, y, z נמדדים במערכת צירים אינרציאלית (שלעיתים קרויה גם מערכת סידרית - ראו: יממה כוכבית), G הינו קבוע הכבידה העולמי, M מסת הגוף הראשי, mp מסת הגוף השני ואילו m הינה מסת חלקיק הבוחן (הגוף השלישי שבמקרה שלנו הינו השביט), r הינו המרחק בין הגוף הראשי והשלישי ואילו Δ בין הגוף השני והשלישי, ו Hz הינו רכיב ציר ה-z של התנע הזוויתי שניתן ע"י:

L_{z}=\,m\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a(1-e^{2})}\cos{i}

מבעיית תנועת שני גופים ידוע כי:

\frac{1}{2}(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})=\,-\frac{1}{2a}+\frac{1}{r}

כאשר a הינו חצי הציר הארוך של מסלול הגוף השלישי. מכאן, וע"י הצבת Gm=1 ניתן לקבל:

C_{J}\approx T\equiv \frac{a_{2}}{a}+2\sqrt{\frac{a}{a_{2}}(1-e^{2})}\cos{i}

כאשר a הינו חצי הציר הארוך של מסלול הגוף השלישי ו a2 הינו חצי הציר הארוך של מסלול הגוף השני.

הקרוב הנ"ל נכון כאשר m_{p}/\Delta\ll\, 1 ורק עם הקבוע של יעקובי נשמר.

התנאי הראשון מתקיים במידה והגוף השלישי איננו מתקרב יתר על המידה לגוף השני. במקרה ושני הגופים אכן מתקרבים, הפרמטר של טיסראנד עשוי להשתנות במידה ניכרת, אך הוא יחזור לערכו המקורי לאחר ששני הגופים יתרחקו זה מזה.

התנאי השני מתקיים במידה והגוף השלישי לא מושפע כבידתית מעצם נוסף (רביעי), קרי שהבעיה מוגדרת כפיתרון של בעיית שלושת הגופים. תנאי נוסף הינו שהגוף השלישי והשני לא נמצאים בתהודה סקולרית זה עם זה. במקרה זה עשויה להיות חשיבות לאקסצנטריות המסלולית של הגוף השני (שהנחנו כי היא אפס).

ניתן גם להראות כי במידה והגוף השלישי חותך את מסלול הגוף השני, אזי בנקודת החיתוך מהירות הגוף השלישי (הלא מופרעת) מתכונתית לפרמטר של טיסראנד באופן הבא:

U=\,\sqrt{3-T}

ראו גם

הרצאות וידאו

מקורות חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק