הפרמטר של טיסראנד

מתוך אסטרופדיה
גרסה מ־05:05, 9 בינואר 2010 מאת Eran (שיחה | תרומות) (הסבר מתמטי)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הפרמטר של טיסראנד (באנגלית: Tisserand Parameter) או הקריטריון של טיסראנד (באנגלית: Tisserand Criterion) הינו פרמטר שבו נהוג לעשות שימוש לסיווג מסלולי שביטים ואסטרואידים.

הגדרה

הפרמטר של טיסראנד, TJ, ביחס לצדק מוגדר ע"י:

T_{J}=\,\frac{a_{J}}{a}+2\sqrt{\frac{a}{a_{J}}(1-e^{2})}\cos{i}

כאשר i נטיית המסלול של הגוף, e אקסצנטריות המסלול, a חצי הציר הארוך של המסלול ו aJ חצי הציר הארוך של מסלולו של צדק (5.2 יחידות אסטרונומיות) - ראו: אלמנטים של מסלול.

שימושים

הסבר מתמטי

הפרמטר של טיסראנד הינו קרוב לגודל הקרוי הקבוע של יעקובי (Jacobi Constant). קבוע זה הינו קבוע תנועה המופיע בבעיית שלושת הגופים המצומצמת, עבור מסלול מעגלי (של הגוף השני).

הביטוי המלא עבור קבוע זה ניתן ע"י:

C_{J}=\,-(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+2\Big( \frac{GM}{r}+\frac{Gm_{p}}{\Delta}\Big)+2L_{z}

כאשר x, y, z נמדדים במערכת צירים אינרציאלית (שלעיתים קרויה גם מערכת סידרית - ראו: יממה כוכבית), G הינו קבוע הכבידה העולמי, M מסת הגוף הרשאי, mp מסת הגוף השני ואילו m הינה מסת חלקיק הבוחן (הגוף השלישי שבמקרה שלנו הינו השביט), r הינו המרחק בין הגוף הראשי והשלישי ואילו Δ בין הגוף השני והשלישי, ו Hz הינו רכיב ציר ה-z של התנע הזוויתי שניתן ע"י:

L_{z}=\,m\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a(1-e^{2})}\cos{i}

מבעיית תנועת שני גופים ידוע כי:

\frac{1}{2}(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})=\,-\frac{1}{2a}+\frac{1}{r}

כאשר a הינו חצי הציר הארוך של מסלול הגוף השלישי. מכאן, וע"י הצבת Gm=1 ניתן לקבל:

C_{J}\approx T\equiv \frac{a_{2}}{a}+2\sqrt{\frac{a}{a_{2}}(1-e^{2})}\cos{i}

כאשר a הינו חצי הציר הארוך של מסלול הגוף השלישי ו a2 הינו חצי הציר הארוך של מסלול הגוף השני.

הקרוב הנ"ל נכון כאשר m_{p}/\Delta\ll\, 1 ורק עם הקבוע של יעקובי נשמר.

התנאי הראשון מתקיים במידה והגוף השלישי איננו מתקרב יתר על המידה לגוף השני. במקרה ושני הגופים אכן מתקרבים, הפרמטר של טיסראנד עשוי להשתנות במידה ניכרת, אך הוא יחזור לערכו המקורי לאחר ששני הגופים יתרחקו זה מזה.

התנאי השני מתקיים במידה והגוף השלישי לא מופשע כבידתית מעצם נוסף (רביעי), קרי שהבעיה מוגדרת כפיתרון של בעיית שלושת הגופים. תנאי נוסף הינו שהגוף השלישי והשני לא נמצאים בתהודה סקולרית זה עם זה. במקרה, זה עשויה להיות חשיבות לאקסצנטריות המסלולית של הגוף השני (שהנחנו כי היא אפס).

ניתן גם להראות כי במידה והגוף השלישי חותך את מסלול הגוף השני, אזי בנקודת החיתוך מהירות הגוף השלישי (הלא מופרעת) מתכונתית לפרמטר של טיסראנד באופן הבא:

U=\,\sqrt{3-T}

ראו גם

הרצאות וידאו

מקורות חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק