הבדלים בין גרסאות בדף "חתכים חרוטיים"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 27: שורה 27:
  
 
למעגל אקצנטריות 0, היקפו ניתן ע"י <math>2\pi R</math> ושטחו שווה ל <math>\pi R^{2}</math>.
 
למעגל אקצנטריות 0, היקפו ניתן ע"י <math>2\pi R</math> ושטחו שווה ל <math>\pi R^{2}</math>.
 +
 +
 +
 +
[[תמונה:Ellipse_Definition.png|שמאל|250px|ממוזער|]]
 +
 +
[[תמונה:Ellipse_ImportantPoints.png|שמאל|250px|ממוזער|]]
  
  
שורה 60: שורה 66:
 
בין הגדלים הללו מתקיימים הקשרים הבאים:
 
בין הגדלים הללו מתקיימים הקשרים הבאים:
  
 +
<math>q=a(1-e)</math>
  
 +
<math>Q=a(1+e)</math>
  
 +
<math>e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}</math>
  
 +
<math>b=a\sqrt{1-a^{2}}=\sqrt{a^{2}-c^{2}}</math>
  
 +
<math>p=a(1-e^{2})</math>
  
 
כאשר האקסצנטריות של האליפסה הינה בין 0 ל 1.
 
כאשר האקסצנטריות של האליפסה הינה בין 0 ל 1.

גרסה מ־23:14, 13 בינואר 2009

שש חתכים חרוטיים (Conical Section)

ConicSections.jpg


צורות גאומטריות המתקבלות ע"י חיתוך של חרוט. מחוקי ניוטון עולה כי בתנועה דו גופית מסלול הגופים תמיד מתואר ע"י חתכים חרוטיים.

הצורות שניתן לקבל ע"י חיתוך של חרוט הן מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה (בנוסף ניתן לקבל שתי צורות מנוונות: נקודה וקו ישר ).

אחת הצורות להבדיל בין החתכים החרוטיים הינה האקסצנטריות (eccentricity, מסומנת באות e) שלהן שמתארת את מידת הפחיסות של הצורה.


מעגל (circle)– צורה גאומטרית על מישור שבה כל הנקודות הינן בעלות מרחק שווה ממרכז המעגל.

משוואת המעגל בקואורדינטות קרטזיות (Y,X), כאשר R הינו רדיוס המעגל :

R^{2}=X^{2}+Y^{2}

ואילו בקואורדינטות קוטביות:

X=R\cos{\theta}

Y=R\sin{\theta}


למעגל אקצנטריות 0, היקפו ניתן ע"י 2\pi R ושטחו שווה ל \pi R^{2}.


Ellipse Definition.png
Ellipse ImportantPoints.png


אליפסה (ellipse)– צורה גאומטרית על מישור שניתן להגדירה (בין היתר) בצורה הבאה:

בהינתן שתי נקודות A ו B אליפסה הינה העקומה המתוארת ע"י הנקודות שמקיימות AP+BP=2a ומתאורת באיור ע"י הקו האדום – הנקודות A ו B נקראות מוקדי האליפסה (לדוגמא ע"פ חוקי קפלר כוכבי הלכת מקיפים את השמש באליפסה כאשר השמש נמצאת באחד המוקדים).



האיור הבא מציין מספר גדלים חשובים באליפסה:


CE – חצי הציר הארוך של האליפסה (מסומן באות a)

DE – הציר הארוך של האליפסה

CF - חצי הציר הקצר של האליפסה (מסומנן באות b)

HF – הציר הקצר של האליפסה

BG – חצי הפתיחה של האליפסה (מסומם באות p)

AB – המרחק בין המוקדים של האליפסה

CB – חצי המרחק בין המוקדים של האליפסה (מסומן באות c)

BE – מרחק הפריסנטר (מסומן באות q)

BD – המרחק באפיסנטר (מסומן באות Q)

בין הגדלים הללו מתקיימים הקשרים הבאים:

q=a(1-e)

Q=a(1+e)

e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}

b=a\sqrt{1-a^{2}}=\sqrt{a^{2}-c^{2}}

p=a(1-e^{2})

כאשר האקסצנטריות של האליפסה הינה בין 0 ל 1.

משוואת האליפסה בקואורדינאטות קרטזיות ניתנת ע"י:



ובקואורדינטות קוטביות:


שטחה של אליפסה הינו:




פרבולה (parabola) – אוסף הנקודות במישור המרוחקות מרחק שווה מישר (קו עזר הקרוי דירקטריקס directrix) ומנקודה הקרויה מוקד (focus) (ראה באיור):


משוואת הפרבולה בקואורדינטות קרטזיות הינה:


ובקואורדינטות קוטביות (כשאר המוקד בראשית הצירים):



האקסצנטריות של הפרבולה הינה 1.

היפרבולה (hyperbola)-

האקסצנטריות של ההיפרבולה מוגדרת בדומה לזו של האליפסה, אך היא תמיד גדולה מ 1.

משוואת ההיפרבולה בקואורדינטות קרטזיות הינה:


ובקואורדינטות קוטביות:



הפרבולה וההיפרבולה הינן צורות פתוחות, קרי הן אינן נסגרות.

קישורים :

· אליפסה : http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

· פרבולה : http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html

· היפרבולה: http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html