הבדלים בין גרסאות בדף "חתכים חרוטיים"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(פרבולה)
שורה 2: שורה 2:
  
 
'''חתכים חרוטיים''' (באנגלית: '''Conical Sections''') הן צורות גאומטריות המתקבלות ע"י חיתוך של חרוט ע"י משטחיים ישרים. החתכיים החרוטיים הם:
 
'''חתכים חרוטיים''' (באנגלית: '''Conical Sections''') הן צורות גאומטריות המתקבלות ע"י חיתוך של חרוט ע"י משטחיים ישרים. החתכיים החרוטיים הם:
מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה וכן הצורות המנוונות נקודה וקו ישר. חשיבותם באסטרונומיה באה מחוקי ניוטון שמהם נגזר כי בתנועה דו-גופית מסלול הגופים תמיד מתואר ע"י חתכים חרוטיים. למשל מסלולו של [[כדור הארץ]] סביב [[השמש]] הוא בקרוב טוב אליפסה (הסיבה לכך שזהו קרוב בלבד היא שלא ניתן לתאר באופן מושלם את מסלול כדור הארץ ע"י תנועה דו-גופית של כדור הארץ סביב השמש מאחר וכדור הארץ מושפע מכוחות הכבידה של [[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] האחרים ב[[מערכת השמש]].
+
מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה וכן הצורות המנוונות נקודה וקו ישר. חשיבותם באסטרונומיה באה מחוקי ניוטון שמהם נגזר כי בתנועה דו-גופית מסלול הגופים תמיד מתואר ע"י חתכים חרוטיים. למשל מסלולו של [[כדור הארץ]] סביב [[השמש]] הוא בקרוב טוב אליפסה (הסיבה לכך שזהו קרוב בלבד היא שלא ניתן לתאר באופן מושלם את מסלול כדור הארץ ע"י תנועה דו-גופית של כדור הארץ סביב השמש מאחר וכדור הארץ מושפע מכוחות הכבידה של [[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] האחרים ב[[מערכת השמש]] (ראו: [[אלמנטים של מסלול]]).
  
 
באיור משמאל ניתן לראות כיצד מתקבלות הצורות הגאומטריות מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה מחיתוך של חרוט ע"י מישור.  
 
באיור משמאל ניתן לראות כיצד מתקבלות הצורות הגאומטריות מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה מחיתוך של חרוט ע"י מישור.  

גרסה מ־02:04, 27 בנובמבר 2009

האיור מדגים כיצד מתקבלות הצורות הגאומטריות מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה מחיתוך של חרוט ע"י מישור.

חתכים חרוטיים (באנגלית: Conical Sections) הן צורות גאומטריות המתקבלות ע"י חיתוך של חרוט ע"י משטחיים ישרים. החתכיים החרוטיים הם: מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה וכן הצורות המנוונות נקודה וקו ישר. חשיבותם באסטרונומיה באה מחוקי ניוטון שמהם נגזר כי בתנועה דו-גופית מסלול הגופים תמיד מתואר ע"י חתכים חרוטיים. למשל מסלולו של כדור הארץ סביב השמש הוא בקרוב טוב אליפסה (הסיבה לכך שזהו קרוב בלבד היא שלא ניתן לתאר באופן מושלם את מסלול כדור הארץ ע"י תנועה דו-גופית של כדור הארץ סביב השמש מאחר וכדור הארץ מושפע מכוחות הכבידה של כוכבי הלכת האחרים במערכת השמש (ראו: אלמנטים של מסלול).

באיור משמאל ניתן לראות כיצד מתקבלות הצורות הגאומטריות מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה מחיתוך של חרוט ע"י מישור.

אקצנטריות

אקצנטריות (באנגלית: Eccentricity) הינה אומדן לפחיסותו של חתך חרוטי ונהוג לסמן אותה באות e. הגדרת האקצנטריות תלויה בסוג החתך החרוטי (ראו להלן). ככל שהגוף פחוס יותר האקצנטריות שלו גדולה יותר.

מעגל

מעגל (באנגלית: Circle) הינה הצורה הגאומטרית על מישור שבה כל הנקודות הינן בעלות מרחק שווה מנקודה אחת הקרויה מרכז המעגל.

משוואת המעגל בקורדינאטות קרטזיות (Y,X), כאשר R הינו רדיוס המעגל :

R^{2}=\,X^{2}+Y^{2}

ואילו בקורדינאטות קוטביות:

X=\,R\cos{\theta}

Y=\,R\sin{\theta}


למעגל אקצנטריות 0, היקפו ניתן ע"י 2\pi R ושטחו שווה ל \pi R^{2}.

אליפסה

הגדרה גאומטרית של אליפסה - אליפסה הינה העקומה (מסומנת בקו אדום) המתוארת ע"י הנקודות שמקיימות AP+BP=2a, כאשר AP הינו המרחק של הנקודה A מנקודה כלשהי P על גבי האליפסה, BP הינו המרחק של הנקודה B מנקודה P על גבי האליפסה ואילו a הינו קבוע.
מספר נקודות על גבי האליפסה. המרחקים בין הנקודות הללו מגדירים מספר גדלים חשובים (ראו גוף המאמר).

אליפסה (באנגלית: Ellipse) היא צורה גאומטרית על מישור שניתן להגדירה (בין היתר) בצורה הבאה: בהינתן שתי נקודות A ו B על גבי המישור, אליפסה הינה העקומה המתוארת ע"י הנקודות שמקיימות AP+BP=2a, כאשר AP הינו המרחק של הנקודה A מנקודה כלשהי P על גבי האליפסה, BP הינו המרחק של הנקודה B מנקודה P על גבי האליפסה ואילו a הינו קבוע הנקרא חצי הציר הארוך (באנגלית: Semi Major Axis). הגדרה גאומטרית זו מתוארת בציור העליון משמאל, כאשר האליפסה מתוארת ע"י הקו האדום. הנקודות A ו B קרויות מוקדי האליפסה (באנגלית: Ellipse focuses). ניתן לחשוב על מעגל כעל אליפסה שבה המרחק בין שני המוקדים הוא אפס.

חוקי קפלר קובעים כי כל כוכב לכת מקיף את השמש באליפסה שהשמש נמצאת באחד ממוקדיה. הגדרה מעט יותר מדויקת ניתן ע"י חוקי ניוטון ומהם עולה כי בתנועה דו-גופית מרכז הכובד של המערכת הדו-גופית ימצא באחד המוקדים (אין זה משנה באיזה מוקד מאחר והאליפסה סימטרית ביחס למוקדים שלה). מאחר והשמש מאסיבית פי כ-300,000 מכדור הארץ אזי מרכז הכובד ארץ שמש נמצא מאד קרוב לשמש ועל כן השמש הינה בקרבת אחד המוקדים.


האיור השני משמאל מציין מספר נקודות על גבי האליפסה. המרחקים בין הנקודות הללו מגדירים מספר גדלים חשובים המובאים להלן:

  • CE – חצי הציר הארוך (באנגלית: Semi Major Axis) של האליפסה - מסומן באות a. במסלול המצאר תנועה דו-גופית גודל זה קרוי לעיתים המרחק הממוצע בין שני הגופים. יש לציין כי לא מדובר בממוצע בזמן אם כי הערך הממוצע בין הנקודה הקרובה ביותר לנקודה הרחוקה ביותר (ראו להלן).
  • DE – הציר הארוך של האליפסה (באנגלית: Major Axis) - שווה ל 2a.
  • CF - חצי הציר הקצר של האליפסה (באנגלית: Semi Minor Axis) - מסומן באות b.
  • HF – הציר הקצר של האליפסה (באנגלית: Minor Axis) - שווה ל 2b.
  • BG – חצי הפתיחה (באנגלית: Semi Latus Rectum) של האליפסה - מסומן באות p.
  • AB – המרחק בין מוקדי האליפסה
  • CB – חצי המרחק בין מוקדי האליפסה - מסומן באות c.
  • BE – מרחק הפריסנטר (באנגלית: Pericenter distance) - מסומן באות q. במסלול של תנועה דו גופית זהו המרחק המינמלי בין שני הגופים.
  • BD – מרחק האפיסנטר (באנגלית: Apocenter distance) - מסומן באות Q. במסלול של תנועה דו גופית זהו המרחק המירבי בין שני הגופים.

בין הגדלים הללו מתקיימים הקשרים הבאים:

q=\,a(1-e)

Q=\,a(1+e)

e=\frac{c}{a}=\,\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}

b=\,a\sqrt{1-e^{2}}=\sqrt{a^{2}-c^{2}}

p=\,a(1-e^{2})

כאשר האקסצנטריות של האליפסה הינה בין 0 ל 1.

משוואת האליפסה בקואורדינאטות קרטזיות ניתנת ע"י:


\frac{X^{2}}{a^{2}}+\frac{Y^{2}}{b^{2}}=\,1

ובקואורדינטות קוטביות:

r=\,\frac{a(1-e^{2})}{1+e\cos{\theta}}


שטחה של אליפסה הינו:

\pi a b

פרבולה

גדרת הפרבולה - כל נקודה על גבי הפרבולה (העקומה הכחולה) היא בעלת מרחק שווה מהדירקטריקס (כפי שמוגדר ע"י האנך לדירקטרירס) וממוקד הפרבולה.


פרבולה (באנגלית: Parabola) מוגדרת (בין היתר) כאוסף הנקודות במישור המרוחקות מרחק שווה מישר - קו עזר הקרוי דירקטריקס (ברנגלית: Directrix) ומנקודה הקרויה מוקד (באנגלית: Focus). הגדרת הפרבולה מודגמת באיור משמאל. כל נקודה על גבי הפרבולה (העקומה הכחולה) היא בעלת מרחק שווה מהדירקטריקס (כפי שמוגדר ע"י האנך לדירקטרירס) וממוקד הפרבולה.

משוואת הפרבולה בקורדינאטות קרטזיות הינה:

Y^{2}=\,4qX

ובקורדינאטות קוטביות (כשאר המוקד בראשית הצירים):

r=\,\frac{-2q}{1+\cos{\theta}}

האקסצנטריות של הפרבולה הינה 1.

הפרבולה (וגם ההיפרבולה, ראו להלן) היא צורה פתוחה שאיננה נסגרת.

היפרבולה

היפרבולה (באנגלית: Hyperbola) מוגדרת (בין היתר) ע"י הגדרה דומה לזו של הפרבולה. רק שבהגדרת הפרבולה היחס בין המרחק בין כל נקודה על הפרבולה ובין המרחק של הנקודה מהדירקטריקס הוא קבוע הגדול מ 1. הקבוע הנ"ל הוא האקצנטריות של ההיפרבולה. על כן האקצנטריות שה ההיפרבולה תמיד גדולה מ 1.

משוואת ההיפרבולה בקורדינאטות קרטזיות הינה:

\frac{X^{2}}{a^{2}}-\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1


ובקורדינאטות קוטביות:

r=\frac{a(e^{2}-1)}{1-e\cos{\theta}}

כמו הפרבולה גם ההיפרבולה היא צורה פתוחה שאיננה נסגרת.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק