חתכים חרוטיים

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ConicSections.jpg

חתכים חרוטיים (באנגלית: Conical Sections) הן צורות גאומטריות המתקבלות ע"י חיתוך של חרוט ע"י משטחיים ישרים. החתכיים החרוטיים הם: מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה וכן הצורות המנוונות נקודה וקו ישר. חשיבותם באסטרונומיה באה מחוקי ניוטון שמהם נגזר כי בתנועה דו-גופית מסלול הגופים תמיד מתואר ע"י חתכים חרוטיים. למשל מסלולו של כדור הארץ סביב השמש הוא בקרוב טוב אליפסה (הסיבה לכך שזהו קרוב בלבד היא שלא ניתן לתאר באופן מושלם את מסלול כדור הארץ ע"י תנועה דו-גופית של כדור הארץ סביב השמש מאחר וכדור הארץ מושפע מכוחות הכבידה של כוכבי הלכת האחרים במערכת השמש.

באיור משמאל ניתן לראות כיצד מתקבלים הצורות הגאומטריות

אקצנטריות

אקצנטריות (באנגלית: Eccentricity) הינה אומדן לפחיסותו של חתך חרוטי ונהוג לסמן אותה באות e. הגדרת האקצנטריות תלויה בסוג החתך החרוטי (ראו להלן). ככל שהגוף פחוס יותר האקצנטריות שלו גדולה יותר.



מעגל (circle)– צורה גאומטרית על מישור שבה כל הנקודות הינן בעלות מרחק שווה ממרכז המעגל.

משוואת המעגל בקואורדינטות קרטזיות (Y,X), כאשר R הינו רדיוס המעגל :

R^{2}=X^{2}+Y^{2}

ואילו בקואורדינטות קוטביות:

X=R\cos{\theta}

Y=R\sin{\theta}


למעגל אקצנטריות 0, היקפו ניתן ע"י 2\pi R ושטחו שווה ל \pi R^{2}.


Ellipse Definition.png
Ellipse ImportantPoints.png


אליפסה (ellipse)– צורה גאומטרית על מישור שניתן להגדירה (בין היתר) בצורה הבאה:

בהינתן שתי נקודות A ו B אליפסה הינה העקומה המתוארת ע"י הנקודות שמקיימות AP+BP=2a ומתאורת באיור ע"י הקו האדום – הנקודות A ו B נקראות מוקדי האליפסה (לדוגמא ע"פ חוקי קפלר כוכבי הלכת מקיפים את השמש באליפסה כאשר השמש נמצאת באחד המוקדים).



האיור הבא מציין מספר גדלים חשובים באליפסה:


CE – חצי הציר הארוך של האליפסה (מסומן באות a)

DE – הציר הארוך של האליפסה

CF - חצי הציר הקצר של האליפסה (מסומנן באות b)

HF – הציר הקצר של האליפסה

BG – חצי הפתיחה של האליפסה (מסומם באות p)

AB – המרחק בין המוקדים של האליפסה

CB – חצי המרחק בין המוקדים של האליפסה (מסומן באות c)

BE – מרחק הפריסנטר (מסומן באות q)

BD – המרחק באפיסנטר (מסומן באות Q)

בין הגדלים הללו מתקיימים הקשרים הבאים:

q=a(1-e)

Q=a(1+e)

e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}

b=a\sqrt{1-e^{2}}=\sqrt{a^{2}-c^{2}}

p=a(1-e^{2})

כאשר האקסצנטריות של האליפסה הינה בין 0 ל 1.

משוואת האליפסה בקואורדינאטות קרטזיות ניתנת ע"י:


\frac{X^{2}}{a^{2}}+\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1

ובקואורדינטות קוטביות:

r=\frac{a(1-e^{2})}{1+e\cos{\theta}}


שטחה של אליפסה הינו:

\pi a b


Parabola.png


פרבולה (parabola) – אוסף הנקודות במישור המרוחקות מרחק שווה מישר (קו עזר הקרוי דירקטריקס directrix) ומנקודה הקרויה מוקד (focus) (ראה באיור):


משוואת הפרבולה בקואורדינטות קרטזיות הינה:

Y^{2}=4qX


ובקואורדינטות קוטביות (כשאר המוקד בראשית הצירים):

r=\frac{-2q}{1+\cos{\theta}}

האקסצנטריות של הפרבולה הינה 1.

היפרבולה (hyperbola)-

האקסצנטריות של ההיפרבולה מוגדרת בדומה לזו של האליפסה, אך היא תמיד גדולה מ 1.

משוואת ההיפרבולה בקואורדינטות קרטזיות הינה:

\frac{X^{2}}{a^{2}}-\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1


ובקואורדינטות קוטביות:

r=\frac{a(e^{2}-1)}{1-e\cos{\theta}}


הפרבולה וההיפרבולה הינן צורות פתוחות, קרי הן אינן נסגרות.

קישורים :

· אליפסה : http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

· פרבולה : http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html

· היפרבולה: http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html