טריגונומטריה כדורית

מתוך אסטרופדיה
גרסה מ־03:43, 10 בינואר 2009 מאת Eran (שיחה | תרומות) (דף חדש: טריגונומטריה כדורית(Spherical Trigonometry) משוואות המקשרות בין זוויות וקשתות על פני כדור. בדומה לטריגונומטריה...)
(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טריגונומטריה כדורית(Spherical Trigonometry)

משוואות המקשרות בין זוויות וקשתות על פני כדור. בדומה לטריגונומטריה האוקלידית (טריגונומטריה על פני מישור), ניתן להגדיר גם טריגונומטריה לא מישורית. הטריגונומטריה של משולשים כדוריים הינה שימושית במיוחד בתחום האסטרונומיה.

מעגל גדול (Great Circle) – מעגל על פני כדור שמוגדר ע"י נקודות החיתוך עם מישור שעובר דרך מרכז הכדור. לדוגמא: קווי האורך על כדור הארץ ובכיפת השמיים הינם מעגלים גדולים, בעוד קווי הרוחב (למעט קו המשווה) הם לא מעגלים גדולים.

משולש כדורי (Spherical Triangle) - הינו משולש על פני כדור שצלעותיו הינן קטעים של מעגלים גדולים.

רשימת נוסחאות טריגונומטריות עבור משולשים כדוריים ומשולשים מישוריים (אוקלידיים) - בטבלה הבאה אותיות קטנות (a,b,c) מייצגות צלעות של משולשים ואילו אותיות גדולות (A,B,C) מייצגות זוויות. במשולש כדורי אורכי הצלעות נמדדים גם הם בזוויות.


האיור הבא מדגים כיצד נראה משולש כדורי – בסגול מסומנות צלעות המשולש הכדורי, שהן מעגלים גדולים ואורכן נמדד בזווית.

נוסחאות המשולשים הכדורים משמשות לביצוע התמרות בין מערכות קואורדינטות שונות וכן לחישוב גדלים על פני כיפת השמיים. שיטה נוספת שבה ניתן להשתמש להתמרת קואורדינטות היא על ידי שימוש במטריצות סיבוב :

ע"י כפל מטריצי של מטריצת סיבוב בוקטור הכיוון הקרוי גם קוסינוס הכיוון (Cosine direction) ניתן לעבור ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת.

ניתן להבדיל בין סיבוב מערכת הצירים וסיבוב האובייקט ביחס למערכת הצירים:

מטריצות הסיבוב הבאות מתארות סיבוב סביב צירי X,Y ו-Z. כאשר הזוויות נמדדות נגד כיוון השעון, אזי המטריצות מתארות את סיבוב מערכת הצירים בזווית a, b, g.

קישורים :

מטריצות סיבוב : http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html

משולשים כדוריים : http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html