הבדלים בין גרסאות בדף "נקודות לגראנג'"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 5: שורה 5:
 
המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז' (Joseph-Louis Lagrange) הראה כי במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה, קיימות 5 נקודות של שווי משקל כבידתי שבהם יכולים להימצא גופים נוספים (בתנאי שמסתם זניחה ביחס למסות האחרות במערכת). נקודות לגראנז' מתקבלות משווי משקל בין כוחות משיכה של שני הגופים והכוחות הצנטרופוגליים הפועלים במערכת הייחוס המסתובבת.
 
המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז' (Joseph-Louis Lagrange) הראה כי במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה, קיימות 5 נקודות של שווי משקל כבידתי שבהם יכולים להימצא גופים נוספים (בתנאי שמסתם זניחה ביחס למסות האחרות במערכת). נקודות לגראנז' מתקבלות משווי משקל בין כוחות משיכה של שני הגופים והכוחות הצנטרופוגליים הפועלים במערכת הייחוס המסתובבת.
  
<math>\phi=\frac{-Gm_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\frac{-Gm_{2}}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{G(m_{1}+m_{2})}{a^{3}}((x-\mu a)^{2} + y^{2})</math>
+
<math>\phi=\frac{-Gm_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\frac{-Gm_{2}}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{G(m_{1}+m_{2})}{a^{3}}([x-\mu a]^{2} + y^{2})</math>
  
 
כל נקודות לגראנז' נמצאות על מישור התנועה של שני הגופים והינן נקודות שווי משקל לא יציב – זאת אומרת, הפרעה קטנה במיקומו של חלקיק הנמצא בנקודת לגראנז' תוציא אותו מנקודה זו.
 
כל נקודות לגראנז' נמצאות על מישור התנועה של שני הגופים והינן נקודות שווי משקל לא יציב – זאת אומרת, הפרעה קטנה במיקומו של חלקיק הנמצא בנקודת לגראנז' תוציא אותו מנקודה זו.

גרסה מ־09:09, 18 בינואר 2009

Lagrangian points.jpg

נקודות לגראנז' (Lagrange Points) הן נקודות שווי משקל במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה. גוף בעל מסה זניחה (ביחס לשתי המסות האחרות) שימוקם בדיוק בנקודות אלו ולא יפעלו עליו כוחות נוספים למעט כח הכבידה ישאר בהם.

המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז' (Joseph-Louis Lagrange) הראה כי במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה, קיימות 5 נקודות של שווי משקל כבידתי שבהם יכולים להימצא גופים נוספים (בתנאי שמסתם זניחה ביחס למסות האחרות במערכת). נקודות לגראנז' מתקבלות משווי משקל בין כוחות משיכה של שני הגופים והכוחות הצנטרופוגליים הפועלים במערכת הייחוס המסתובבת.

\phi=\frac{-Gm_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\frac{-Gm_{2}}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{G(m_{1}+m_{2})}{a^{3}}([x-\mu a]^{2} + y^{2})

כל נקודות לגראנז' נמצאות על מישור התנועה של שני הגופים והינן נקודות שווי משקל לא יציב – זאת אומרת, הפרעה קטנה במיקומו של חלקיק הנמצא בנקודת לגראנז' תוציא אותו מנקודה זו.

נקודת לגראנז' הראשונה (L1) – נמצאת בין שני הגופים.

נקודת לגראנז' השנייה (L2) – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הקטנה ביותר.

נקודת לגראנז' השלישית (L3) – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הגדולה ביותר. גוף בעל מסה זניחה הנמצאת בנקודות לגראנז' השנייה או השלישית מרגיש מצד אחד את משיכת שני הגופים ומצד שני את הכוח הצנטרופוגלי במערכת המסתובבת שמבטל את כוח המשיכה של שני הגופים.

נקודת לגראנז' הרביעית (L4) – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו האחד" של המסלול.

נקודת לגראנז' החמישית (L5) – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו השני" של המסלול.

במערכת שבה מסה אחת היא דומיננטית והשנייה קטנה יותר, נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית נמצאות בקרוב על מסלול המסה הקטנה ביותר ועוקבות ומפגרות אחריב במסלול בשיעור של כ 60 מעלות.

דוגמאות לנקודות לגראנז' במערכת השמש:

· האסטרואידים הטרוייאנים של צדק (ושל כוכבי הלכת האחרים) נמצאים באזור נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית.

· הטלסקופים של SOHO ו WMAP מוקמו בנקודת לגראנז' השנייה של מערכת שמש-ארץ.

באיור הבא ניתן לראות את הפוטנציאל הכבידתי (ציר הגובה) כתלות במיקום על מישור מערכת של שני גופים בעלי יחס מסות של 1:0.8. נקודות לגראנז' נמצאות כאמור במישור התנועה של שני הגופים, ומיקומם באיור מסומן על גבי הפוטנציאל הכבידתי. נקודות לגראנז' מתקבלות בנקודות אקסטרמום של הפוטנציאל הכבידתי (האיור הוכן באמצעות תוכנת MATLAB).


קישורים :

· גזירה מתמטית של נקודות לגראנז' : http://scienceworld.wolfram.com/physics/LagrangePoints.html

· אתר הבית של הלוויןWMAP : http://map.gsfc.nasa.gov

· אתר הבית של הלווין SOHO : http://sohowww.nascom.nasa.gov