הבדלים בין גרסאות בדף "נקודות לגראנג'"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הפוטנציאל הכבידתי במערכת דו-גופית)
 
(20 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[תמונה:Lagrangian_points.jpg|שמאל|250px|ממוזער|הפוטנציאל הכבידתי על גבי מישור המסלול של מערכת דו-גופית כפי שמחושב במערכת היחוס המסתובבת עם שני הגופים. ציר הגובה מציין את ערך הפוטנציאל, וצירי ה x וה y מציינים את המיקום על גבי מישור המסלול. האיור חושב עבור יחס מסות של 2:3.]]
  
[[תמונה:Lagrangian_points.jpg|שמאל|250px|ממוזער|]]
+
'''נקודות לגראנז' ''' (באנגלית: '''Lagrange Points''') הן נקודות שווי משקל במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה ובינהם פועלים כוחות הכבידה. גוף בעל [[מסה]] זניחה (ביחס לשתי המסות האחרות) שימוקם בדיוק בנקודות אלו ולא יפעלו עליו כוחות נוספים למעט כח הכבידה ישאר בהם.
  
נקודות לגראנז' (Lagrange Points)
+
המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז' (Joseph-Louis Lagrange) הראה כי במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה, קיימות 5 נקודות של שווי משקל כבידתי שבהם יכולים להימצא גופים נוספים (בתנאי שמסתם זניחה ביחס למסות האחרות במערכת). נקודות לגראנז' מתקבלות ע"י משווי משקל בין כוחות משיכה של שני הגופים והכוחות הצנטרופוגליים הפועלים במערכת הייחוס המסתובבת.
  
נקודות שווי משקל במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה.
+
==הפוטנציאל הכבידתי במערכת דו-גופית==
  
המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז' (Joseph-Louis Lagrange) הראה כי במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה, קיימות 5 נקודות של שווי משקל כבידתי שבהם יכולים להימצא גופים נוספים (בתנאי שמסתם זניחה ביחס למסות האחרות במערכת). נקודות לגראנז' מתקבלות משווי משקל בין כוחות משיכה של שני הגופים והכוחות הצנטרופוגליים הפועלים במערכת הייחוס המסתובבת.
+
הפוטנציאל הכבידתי במערכת של שני גופים הראשון במסה m<sub>1</sub> הנמצא ברשאית הצירים והשני שמסתו m<sub>2</sub> הנמצא בנקודה x=a, y=0, z=0 ומסתובבים סביב מרכז הכובד המשותף של המערכת הוא:
  
כל נקודות לגראנז' נמצאות על מישור התנועה של שני הגופים והינן נקודות שווי משקל לא יציב – זאת אומרת, הפרעה קטנה במיקומו של חלקיק הנמצא בנקודת לגראנז' תוציא אותו מנקודה זו.
+
<math>\phi=\frac{-Gm_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\frac{-Gm_{2}}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{G(m_{1}+m_{2})}{a^{3}}([x-\mu a]^{2} + y^{2})</math>
  
נקודת לגראנז' הראשונה (L1) – נמצאת בין שני הגופים.
+
כאשר
  
נקודת לגראנז' השנייה (L2) – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הקטנה ביותר.
+
<math>\mu=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}</math>
  
נקודת לגראנז' השלישית (L3) – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הגדולה ביותר. גוף בעל מסה זניחה הנמצאת בנקודות לגראנז' השנייה או השלישית מרגיש מצד אחד את משיכת שני הגופים ומצד שני את הכוח הצנטרופוגלי במערכת המסתובבת שמבטל את כוח המשיכה של שני הגופים.
+
ו ׂG הוא [[קבועים פיזיקלים|קבוע הכבידה העולמי]]. נקודות לגראנג' נמצאות במקומות שבהן למשוואה הנ"ל יש נקודות קיצון עבור המישור שעליו נמצאים שני הגופים (z=0). באיור משמאל למעלה מוצג הפוטנציאל הכבידתי במערכת דו-גופית.
  
נקודת לגראנז' הרביעית (L4) – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו האחד" של המסלול.
+
כל נקודות לגראנז' נמצאות על מישור התנועה של שני הגופים.
  
נקודת לגראנז' החמישית (L5) – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו השני" של המסלול.
+
==נקודות לגראנג'==
 +
 
 +
כאמור קיימות חמש נקודות שווי משקל הקרויות נקודות לגראנג':
 +
 
 +
* '''נקודת לגראנז' הראשונה''' מסומנת ב L1 – נמצאת בין שני הגופים.
 +
* '''נקודת לגראנז' השנייה''' מסומנת ב L2 – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הקטנה ביותר.
 +
* '''נקודת לגראנז' השלישית''' מסומנת ב L3 – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הגדולה ביותר. גוף בעל מסה זניחה הנמצאת בנקודות לגראנז' השנייה או השלישית מרגיש מצד אחד את משיכת שני הגופים ומצד שני את הכוח הצנטרופוגלי במערכת המסתובבת שמבטל את כוח המשיכה של שני הגופים.
 +
* '''נקודת לגראנז' הרביעית''' מסומנת ב L4 – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו האחד" של המסלול.
 +
* '''נקודת לגראנז' החמישית''' מסומנת ב L5 – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו השני" של המסלול.
  
 
במערכת שבה מסה אחת היא דומיננטית והשנייה קטנה יותר, נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית נמצאות בקרוב על מסלול המסה הקטנה ביותר ועוקבות ומפגרות אחריב במסלול בשיעור של כ 60 מעלות.
 
במערכת שבה מסה אחת היא דומיננטית והשנייה קטנה יותר, נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית נמצאות בקרוב על מסלול המסה הקטנה ביותר ועוקבות ומפגרות אחריב במסלול בשיעור של כ 60 מעלות.
  
דוגמאות לנקודות לגראנז' במערכת השמש:
+
==יציבות של נקודות לגראנג'==
 +
 
 +
שלושת נקודות לגראנג' הראשונות הינן יציבות להפרעות קטנות במישור שהוא ניצב לקו המחבר בין הגופים.
 +
בנוסף סביב נקודות אלו קימיים מסלולים סגורים (למשל מעגל שמרכזו בנקודת לגראנג') ומחזוריים שהם יציבים. במערכת השמש, כתוצאה מההשפעה הכבידתית של כוכבי הלכת האחרים, מסלולים מחזוריים אלו אינם יציבים, אבל במקרה זה קיימים מסלולים מורכבים יותר הקרויים מסלולי ליסאג'ו (באנגלית: Lissajous Orbit) סביב נקודות לגראנג' שהם יציבים. למעשה במסלולים כאלו בנקודות לגראנג' של מערכת [[השמש|שמש]]-[[כדור הארץ|ארץ]] ממוקמים לוויני מחקר רבים (ראו להלן).
 +
 
 +
יציבותן של נקודות לגראנג' 4 ו 5 תלויה ביחס המסות בין הגופים.
 +
 
 +
 
 +
==דוגמאות לנקודות לגראנז' במערכת השמש==
 +
 
 +
* ה[[אסטרואידים]] הטרוייאנים של [[צדק]] (ושל כוכבי הלכת האחרים) נמצאים באזור נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית.
 +
* [[טלסקופ|טלסקופי]] חלל רבים כגון הטלסקופים של SOHO ו WMAP מוקמו בנקודת לגראנז' השנייה של מערכת [[השמש|שמש]]-[[כדור הארץ|ארץ]].
  
·        האסטרואידים הטרוייאנים של צדק (ושל כוכבי הלכת האחרים) נמצאים באזור נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית.
+
==ראו גם==
  
·        הטלסקופים של SOHO ו WMAP מוקמו בנקודת לגראנז' השנייה של מערכת שמש-ארץ.
+
* [[גבול רוש]]
  
באיור הבא ניתן לראות את הפוטנציאל הכבידתי (ציר הגובה) כתלות במיקום על מישור מערכת של שני גופים בעלי יחס מסות של 1:0.8. נקודות לגראנז' נמצאות כאמור במישור התנועה של שני הגופים, ומיקומם באיור מסומן על גבי הפוטנציאל הכבידתי. נקודות לגראנז' מתקבלות בנקודות אקסטרמום של הפוטנציאל הכבידתי (האיור הוכן באמצעות תוכנת  MATLAB).
+
==הרצאות וידאו==
  
 +
==קישורים חיצוניים==
  
 +
* [http://map.gsfc.nasa.gov  אתר הבית של הלווין WMAP של מנהלת החלל והתעופה של ארה"ב]
 +
* [http://sohowww.nascom.nasa.gov  אתר הבית של הלווין SOHO של מנהלת החלל והתעופה של ארה"ב]
  
קישורים :
+
==ספרות מקצועית==
  
·        גזירה מתמטית של נקודות לגראנז' : http://scienceworld.wolfram.com/physics/LagrangePoints.html
+
[[קטגוריה:מכניקה שמיימית]]
  
·        אתר הבית של הלוויןWMAP : http://map.gsfc.nasa.gov
 
  
·        אתר הבית של הלווין SOHO : http://sohowww.nascom.nasa.gov
+
'''מחברים'''
 +
----
 +
[[צוות האסטרופדיה#ערן אופק|ערן אופק]]

גרסה אחרונה מ־05:54, 9 בדצמבר 2009

הפוטנציאל הכבידתי על גבי מישור המסלול של מערכת דו-גופית כפי שמחושב במערכת היחוס המסתובבת עם שני הגופים. ציר הגובה מציין את ערך הפוטנציאל, וצירי ה x וה y מציינים את המיקום על גבי מישור המסלול. האיור חושב עבור יחס מסות של 2:3.

נקודות לגראנז' (באנגלית: Lagrange Points) הן נקודות שווי משקל במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה ובינהם פועלים כוחות הכבידה. גוף בעל מסה זניחה (ביחס לשתי המסות האחרות) שימוקם בדיוק בנקודות אלו ולא יפעלו עליו כוחות נוספים למעט כח הכבידה ישאר בהם.

המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז' (Joseph-Louis Lagrange) הראה כי במערכת של שני גופים המסתובבים זה סביב זה, קיימות 5 נקודות של שווי משקל כבידתי שבהם יכולים להימצא גופים נוספים (בתנאי שמסתם זניחה ביחס למסות האחרות במערכת). נקודות לגראנז' מתקבלות ע"י משווי משקל בין כוחות משיכה של שני הגופים והכוחות הצנטרופוגליים הפועלים במערכת הייחוס המסתובבת.

הפוטנציאל הכבידתי במערכת דו-גופית

הפוטנציאל הכבידתי במערכת של שני גופים הראשון במסה m1 הנמצא ברשאית הצירים והשני שמסתו m2 הנמצא בנקודה x=a, y=0, z=0 ומסתובבים סביב מרכז הכובד המשותף של המערכת הוא:

\phi=\frac{-Gm_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\frac{-Gm_{2}}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{G(m_{1}+m_{2})}{a^{3}}([x-\mu a]^{2} + y^{2})

כאשר

\mu=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}

ו ׂG הוא קבוע הכבידה העולמי. נקודות לגראנג' נמצאות במקומות שבהן למשוואה הנ"ל יש נקודות קיצון עבור המישור שעליו נמצאים שני הגופים (z=0). באיור משמאל למעלה מוצג הפוטנציאל הכבידתי במערכת דו-גופית.

כל נקודות לגראנז' נמצאות על מישור התנועה של שני הגופים.

נקודות לגראנג'

כאמור קיימות חמש נקודות שווי משקל הקרויות נקודות לגראנג':

  • נקודת לגראנז' הראשונה מסומנת ב L1 – נמצאת בין שני הגופים.
  • נקודת לגראנז' השנייה מסומנת ב L2 – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הקטנה ביותר.
  • נקודת לגראנז' השלישית מסומנת ב L3 – נמצאת בהמשכו של הקו המחבר את שני הגופים, מעבר לגוף בעל המסה הגדולה ביותר. גוף בעל מסה זניחה הנמצאת בנקודות לגראנז' השנייה או השלישית מרגיש מצד אחד את משיכת שני הגופים ומצד שני את הכוח הצנטרופוגלי במערכת המסתובבת שמבטל את כוח המשיכה של שני הגופים.
  • נקודת לגראנז' הרביעית מסומנת ב L4 – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו האחד" של המסלול.
  • נקודת לגראנז' החמישית מסומנת ב L5 – יוצרת משולש עם שני הגופים מ"צידו השני" של המסלול.

במערכת שבה מסה אחת היא דומיננטית והשנייה קטנה יותר, נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית נמצאות בקרוב על מסלול המסה הקטנה ביותר ועוקבות ומפגרות אחריב במסלול בשיעור של כ 60 מעלות.

יציבות של נקודות לגראנג'

שלושת נקודות לגראנג' הראשונות הינן יציבות להפרעות קטנות במישור שהוא ניצב לקו המחבר בין הגופים. בנוסף סביב נקודות אלו קימיים מסלולים סגורים (למשל מעגל שמרכזו בנקודת לגראנג') ומחזוריים שהם יציבים. במערכת השמש, כתוצאה מההשפעה הכבידתית של כוכבי הלכת האחרים, מסלולים מחזוריים אלו אינם יציבים, אבל במקרה זה קיימים מסלולים מורכבים יותר הקרויים מסלולי ליסאג'ו (באנגלית: Lissajous Orbit) סביב נקודות לגראנג' שהם יציבים. למעשה במסלולים כאלו בנקודות לגראנג' של מערכת שמש-ארץ ממוקמים לוויני מחקר רבים (ראו להלן).

יציבותן של נקודות לגראנג' 4 ו 5 תלויה ביחס המסות בין הגופים.


דוגמאות לנקודות לגראנז' במערכת השמש

  • האסטרואידים הטרוייאנים של צדק (ושל כוכבי הלכת האחרים) נמצאים באזור נקודות לגראנז' הרביעית והחמישית.
  • טלסקופי חלל רבים כגון הטלסקופים של SOHO ו WMAP מוקמו בנקודת לגראנז' השנייה של מערכת שמש-ארץ.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית


מחברים


ערן אופק