הבדלים בין גרסאות בדף "קרינת סינכרוטרון"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(זמן הקירור)
(תדירות הסינכרוטרון)
שורה 12: שורה 12:
  
 
בשונה מ'''קרינת ציקלוטרון''' בה תדירות הקרינה היא תדירות הסיבוב של האלקטרון,  
 
בשונה מ'''קרינת ציקלוטרון''' בה תדירות הקרינה היא תדירות הסיבוב של האלקטרון,  
קרינת הסינכוטרון מאלקטרון בודד נפלטת על פני טווח רחב של תדירויות כאשר התדירות האופיינית, בה נפלטת רוב הקרינה (במערכת היחוס של הצופה), ניתנת ע"י:
+
קרינת הסינכוטרון מאלקטרון בודד נפלטת על פני טווח רחב של תדירויות (ראה דיון בסעיף ספקטרום הקרינה) כאשר התדירות האופיינית, בה נפלטת רוב הקרינה, במערכת היחוס של הצופה, ניתנת ע"י:
  
 
<math>\nu_{s}=\,0.87\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{4\pi m_{e}c}\cong\,1.2\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}</math>
 
<math>\nu_{s}=\,0.87\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{4\pi m_{e}c}\cong\,1.2\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}</math>

גרסה מ־15:02, 6 בפברואר 2010

קרינת סינכרוטרון (באנגלית: Synchrotron Radiation) הינה קרינה אלקטרומגנטית הנפלטת כתוצאה מתנועה של אלקטרונים (או חלקיקים טעונים אחרים) הנעים במהירויות יחסותיות (קרובות למהירות האור) בשדה מגנטי. במצב זה האלקטרונים ינועו גם מסביב לקוי השדה המגנטי וכתוצאה מהתאוצה שלהם יפלטו קרינה אלקטרומגנטית.

כאשר האלקטרונים אינם יחסותיים אזי הקרינה נקראת קרינת ציקלוטרון (באנגלית: Cyclotron Radiation).

קרינת סינכרוטרון נפלטת ממגוון רחב של עצמים ותופעות אסטרופיזיקליות. מניתוח הספקטרום של מקור הפולט קרינת סינכרוטרון ניתן ללמוד על מאפיניו כגון, גודלו, עוצמת השדה המגנטי, צפיפות האלקטרונים החופשיים ועוד.

נספח מתמטי

כל הנוסחאות והגדלים בנספח זה מבוטאים במערכת היחידות cgs.

תדירות הסינכרוטרון

בשונה מקרינת ציקלוטרון בה תדירות הקרינה היא תדירות הסיבוב של האלקטרון, קרינת הסינכוטרון מאלקטרון בודד נפלטת על פני טווח רחב של תדירויות (ראה דיון בסעיף ספקטרום הקרינה) כאשר התדירות האופיינית, בה נפלטת רוב הקרינה, במערכת היחוס של הצופה, ניתנת ע"י:

\nu_{s}=\,0.87\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{4\pi m_{e}c}\cong\,1.2\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}

כאשר:

\gamma_{e}=\,(1-\beta_{e}^{2})^{-1/2}

הוא מקדם לורנץ של האלקטרונים שמהירותם ביחידות של מהירות האור c הינו βe. מטען האלקטרון מסומן ב e, ומסת האלקטרון ב me.

ההספק, Ps, שנפלט ע"י אלקטרון יחסותי בודד בקרינת סינכרוטרון (לאחר מיצוע על כל התדירויות ועל פני כל הכיוונים) הינו:

P_{s}=\,\frac{4}{3}\sigma_{T}c\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}U_{B}\cong\,1.1\times10^{-15}\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{2}~{\rm erg\,s}^{-1}

כאשר צפיפות האנרגיה של השדה המגנטי ניתנת ע"י:

U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}

ו σT הינו חתך הפעולה של תומסון.

הספק הקרינה הסגולי (ליחידת תדר) מאלקטרון בודד בתדירות הפליטה האפיינית (בהנחה של תווך דק אופטית) ניתן ע"י:

P_{\nu,max}\cong\,\frac{P_{s}}{\nu_{s}}=\,\frac{2}{3}\frac{m_{e}c^{2}\sigma_{T}\beta_{e}^{2}B}{e}

עוד נציין כי במידה והאזור הפולט נע לעבר הצופה במהירות יחסותית עם מקדם לורנץ \Gamma (שימו לב, זהו איננו מקדם לורנץ של האלקטרונים γe, שמציין את מהירות האלקטרונים במערכת האזור הפולט) אזי את הנוסחא להספק Ps יש להכפיל ב \Gamma^2, לעומת זאת את הנוסחאות עבור תדירות הסינכרוטרון האופיינית והספק הקרינה הסגולי יש להכפיל ב \Gamma.

זמן הקירור

זמן הקרור של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Cooling Time), מסומן ב ts, מוגדר להיות הזמן שלוקח לאלקטרון יחסותי שהאנרגיה הקינטית שלו נתונה ע"י \gamma_{e}m_{e}c^{2} לאבד את האנרגיה שלו. זמן זה ניתן מחלוקת האנרגיה בהספק והוא:

t_{s}=\,\frac{\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{P_{s}}\cong\,7.7\times10^{8}\beta_{e}^{-2}\gamma_{e}^{-1}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-2}~{\rm s}

הנוסחא האחרונה נכונה רק כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון קטן מ 1. אחרת יש להביא בחשבון את העובדה שהאלקטרון מקבל אנרגיה מפוטונים הנפלטים מאלקטרונים אחרים ונבלעים על ידו - מצב הקרוי בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Self Absorption) ויפורט בהמשך.

בהינתן זמן הקירור ותדירות הסינכרוטרון ניתן לקבל את \gamma_e ו B מתוך פתרון שתי שתי משוואות בשני נעלמים:

B\cong\,1.2\times10^{5}\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{-1/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{-2/3}~{\rm G}

ו

\gamma_e\cong\,0.055\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{2/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{1/3}

הספק ליחידת זווית מרחבית

ההספק של קרינת סינכרוטרון ליחידת זווית מרחבית ניתן ע"י:

\frac{dE}{d\Omega}=\,\frac{e^{4}B^{2}\beta_{e}^2(1-\beta_{e}^2)}{8\pi^2m_{e}^2c^3}\Big[ \frac{2+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta}{(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{5/2}}-\frac{(1-\beta_{e}^{2})(4+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)\cos^{2}\theta}{4(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{7/2}} \Big]

כאשר θ הינה הזווית בין כיוון הצופה והמישור הניצב לכיוון השדה המגנטי (מישור התנועה של החלקיק).

ספקטרום

בהנחה שלכל האלקטרונים אותה אנרגיה, \gamma m_{e}c^{2} (אך אינם קוהרנטים), אזי נגדיר את התדירות:

\omega_{c}=\,\gamma^{2}\frac{3}{2}\frac{eB\sin{\alpha}}{m_{e}c}

כאשר α (נקראת גם: pitch angle) היא הזווית בין כיוון השדה המגנטי וכיוון התנועה של האלקטרונים.

במקרה שלכל האלקטרונים אותה אנרגיה, אזי ספקטרום קרינת הסינכרוטרון ניתן ע"י:

\frac{dI}{d\omega}=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}B}{2\pi m_{e}c^{2}}F\Big(\frac{\omega}{\omega_{c}}\Big)

כאשר:

F(\xi)=\,\xi\int_{\xi}^{\infty}{K_{5/3}(z)dz}

וכאשר K5/3 הינה פונקציית מקדונלד שניתנת ע"י:

K_{u}(z)=\,\frac{\Gamma(u+1/2)(2z)^{u}}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{(t^{2}+z^{2})^{u+1/2}}dt}

במקרה ולאלקטרונים יש התפלגות אנרגיות שניתנת לביטוי ע"י חוק חזקה מהטיפוס:

n(E)dE=\,CE^{-p}dE

אזי סה"כ ההספק בקרינת סינכרוטרון ליחידת תדר זוויתי ω ניתנת ע"י:

P_{tot}(\omega)=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}CB\sin{\alpha}}{2\pi m_{e}c^{2}(p+1)}\Gamma\Big(\frac{3p-1}{12}\Big)\Gamma\Big(\frac{3p+19}{12}\Big)\Big(\frac{m_{e}^{3}c^{5}\omega}{3eB\sin{\alpha}}\Big)^{-(p-1)/2}\propto \omega^{(1-p)/2} B^{(3-p)/2}

בליעה עצמית

בתדירויות נמוכות יתכן מצב ובו האלקטרונים יבלעו את הפוטונים הנפלפטים על ידיהם. מצב הקרוי בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Self-Absorption). במצב זה ספקטרום קרינת הסינכרוטרון מתחת לתדירות שבה העומק האופטי לבליעה ע"י האלקטרונים גדול מיחידה ניתן ע"י ν5/2. הסבר פשוט לספקטרום הנ"ל הינו ספקטרום ריילי ג'ינס:

I_{\nu}=\,2\Big(\frac{\nu}{c}\Big)^{2}k_{B}T

שבו אנו מחליפים את האנרגיה הממוצעת של פוטון k_{B}T ב: \gamma m_{e}c^{2}

ו \nu=\,\gamma^{2}\nu_{L}

כאשר νL הינה תדירות לרמור (Larmor Frequency)

ומכאן מקבלים כי:

I_{\nu}\propto\,\nu^{5/2}

אנרגיה בשדה מגנטי ואנרגיה של האלקטרונים

צפיפות האנרגיה הקינטית של האלקטרונים ניתנת ע"י:

U_{e}=\,n_{e}\gamma m_{e} c^{2}\cong\,8.19\times10^{-7}\Big(\frac{n_{e}}{1\,{\rm cm}^{-3}}\Big)\gamma~{\rm erg\,cm}^{-3}

וצפיפות האנרגיה של השדה המגנטי:

U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}


פתרון במקרה הדק אופטית

עבור המקררה הדק אופטי (עומק אופטי קטן מ 1), בהינתן זמן הקירור ts, תדירות הסינכרוטרון νs, הספק הקרינה ליחידת תדר בתדירות האופיינית (תדירות הסינכרוטרון):

L_{\nu}\approx\, \frac{4/3 \pi R^{3} n_{e} P_{s}}{\nu_{s}}

כאשר R הינו רדיוס האזור הפולט קרינת סינכרוטרון ו ne הינה צפיפות האלקטרונים באזור הפולט.

והיחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה בשדה המגנטי:

\frac{U_{e}}{U_{B}}=\,\frac{n_{e}\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{B^{2}/(8\pi)}

ובהנחה כי \beta=1 (המקרה האולטרא יחסותי) ניתן לפתור עבור B, γe, R ו ne ולקבל את הפתרון המקורב:

B\approx \, \frac{(18 \pi e m_{e} c)^{1/3}}{\sigma_{T}^{2/3} \nu_{s}^{1/3} t_{s}^{2/3}}

\gamma_{e}\approx\,\frac{(18\sigma_{T}\pi m_{e}c t_{s}\nu_{s}^{2})^{1/3}}{3e^{2/3}}

n_{e}\approx\,3\frac{18^{1/3} (U_{e}/U_{B}) e^{4/3}}{8(c\sigma_{T} t_{s})^{5/3}(\pi m_{e}\nu_{s}^{2})^{2/3}}

R\approx\,\frac{3^{8/9}2^{1/9}\sigma_{T}^{4/9}L_{\nu}^{1/3}\nu_{s}^{5/9}t_{s}^{7/9}}{3(\pi e m_{e}c)^{2/9}(U_{e}/U_{B})^{1/3}}

משיקולים של מיזעור האנרגיה הכללית של המערכת, במקרים רבים היחס U_{e}/U_{B} הינו קרוב ל 1.

בהירות הטמפרורה של שווי משקל

בהירות הטמפרורה של שווי משקל (Equipartition Brightness Temperature) היא בהירות הטמפרורה של מקור קרינת סינכרוטרון שבו היחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה של השדה המגנטי הוא 1 - קרי:

U_{e}/U_{B}=\,1

בהירות הטמפרטורה מסומנת ב TB וניתנת ע"י (ראו: קרינת גוף שחור):

T_{B}=\frac{S_{\nu}}{2\pi k_{B}} \Big(\frac{c}{\nu}\Big)^{2} \Big(\frac{d}{R}\Big)^{2}

כאשר Sν הוא שטף הקרינה הסגולי ליחידת תדר (specific flux) כפי שנמדד ע"י הצופה, R הינו רדיוס המקור, d המרחק אל המקור, c היא מהירות האור, ו kB הינו קבוע סטפן בולצמן. שטף הקרינה הסגולי קשור להארה הסגולית (specific luminosity) שמסומנת ב Lν ע"י:

S_{\nu}=\,\frac{L_{\nu}}{4\pi d^{2}}

הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי

כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון קטן מיחידה ניתן להעריך את צפיפות האנרגיה בקרינה ע"י:

U_{rad}\approx\,\frac{RU_{e}}{ct_{s}}

כאשר R הינו הגודל האופייני של האזור הפולט קרינת סינכרוטרון.

במידה וצפיפות האנרגיה בקרינה גדולה יותר מצפיפות האנרגיה של האלקטרונים אזי פיזור קומפטון ההפוכי יהיה דומיננטי וישנה את הספקטרום של קרינת הסינכרוטרון. המצב שבו U_{rad}\gtrsim U_{e} קרוי הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק