הבדלים בין גרסאות בדף "קרינת סינכרוטרון"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי)
 
(94 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
'''קרינת סינכרוטרון''' (באנגלית: '''Synchrotron Radiation''') הינה [[קרינה אלקטרומגנטית]] הנפלטת כתוצאה מתנועה של [[אלקטרון|אלקטרונים]] (או חלקיקים טעונים אחרים) הנעים במהירויות [[תורת היחסות הפרטית|יחסותיות]] (קרובות ל[[מהירות האור]]) בשדה מגנטי. במצב זה האלקטרונים ינועו גם מסביב לקוי השדה המגנטי וכתוצאה מהתאוצה שלהם יפלטו קרינה אלקטרומגנטית.
 
'''קרינת סינכרוטרון''' (באנגלית: '''Synchrotron Radiation''') הינה [[קרינה אלקטרומגנטית]] הנפלטת כתוצאה מתנועה של [[אלקטרון|אלקטרונים]] (או חלקיקים טעונים אחרים) הנעים במהירויות [[תורת היחסות הפרטית|יחסותיות]] (קרובות ל[[מהירות האור]]) בשדה מגנטי. במצב זה האלקטרונים ינועו גם מסביב לקוי השדה המגנטי וכתוצאה מהתאוצה שלהם יפלטו קרינה אלקטרומגנטית.
  
כאשר האלקטרונים אינם יחסותיים אזי הקרינה נקראת '''קרינת ציקלוטרון''' (באנגלית: '''Cyclotron Radiation''').
+
כאשר האלקטרונים אינם יחסותיים אזי הקרינה נקראת '''קרינת ציקלוטרון''' (באנגלית: '''Cyclotron Radiation''' - ראו גם: [[רדיוס לרמור]]).
  
 
קרינת סינכרוטרון נפלטת ממגוון רחב של עצמים ותופעות אסטרופיזיקליות. מניתוח ה[[ספקטרום]] של מקור הפולט קרינת סינכרוטרון ניתן ללמוד על מאפיניו כגון, גודלו, עוצמת השדה המגנטי, צפיפות האלקטרונים החופשיים ועוד.
 
קרינת סינכרוטרון נפלטת ממגוון רחב של עצמים ותופעות אסטרופיזיקליות. מניתוח ה[[ספקטרום]] של מקור הפולט קרינת סינכרוטרון ניתן ללמוד על מאפיניו כגון, גודלו, עוצמת השדה המגנטי, צפיפות האלקטרונים החופשיים ועוד.
שורה 11: שורה 11:
 
===תדירות הסינכרוטרון===
 
===תדירות הסינכרוטרון===
  
'''תדירות הסינכרוטרון''' (במערכת היחוס של הצופה) ניתנת ע"י:
+
בשונה מ'''קרינת ציקלוטרון''' בה תדירות הקרינה היא תדירות הסיבוב של האלקטרון,
 +
קרינת הסינכוטרון מאלקטרון בודד נפלטת על פני טווח רחב של תדירויות (ראו דיון בסעיף '''הספק ליחידת זוית מרחבית''').
 +
התדירות האופיינית לפליטה במערכת היחוס של הצופה, נקראת גם '''תדירות הסינכוטרון''', וניתנת ע"י:
  
<math>\nu_{s}=\,\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{2\pi m_{e}c}\cong\,2.8\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}</math>
+
<math>\nu_{s}=\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{2\pi m_{e}c}\cong\,2.8\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}</math>
  
 
כאשר:
 
כאשר:
שורה 19: שורה 21:
 
<math>\gamma_{e}=\,(1-\beta_{e}^{2})^{-1/2}</math>
 
<math>\gamma_{e}=\,(1-\beta_{e}^{2})^{-1/2}</math>
  
הוא פקטור לורנץ של האלקטרונים שמהירותם ביחידות של מהירות האור c הינו &beta;<sub>e</sub>. מטען האלקטרון מסומן ב e, ומסת האלקטרון ב m<sub>e</sub>.
+
הוא מקדם לורנץ של האלקטרונים שמהירותם ביחידות של מהירות האור, c, היא &beta;<sub>e</sub>. מטען האלקטרון מסומן ב e, ומסת האלקטרון ב m<sub>e</sub>.
  
ההספק, P<sub>s</sub>, שנפלט ע"י אלקטרון יחסותי בודד בקרינת סינכרוטרון (לאחר מיצוע על כל הכיוונים) הינו:
+
במציאות תדירות הקרינה תלויה גם בזווית שבין כוון תנועת האלקטרון וכוון השדה המגנטי, והיא מקבלת את ערכה המקסימלי כאשר שני הוקטורים ניצבים אחד לשני (ראו סעיף: '''ספקטרום הקרינה''').
 +
הספק הקרינה, P<sub>s</sub>, שנפלטת ע"י האלקטרון היחסותי מתקבל מתוך מיצוע על כל כווני התנועה האפשריים:  
  
 
<math>P_{s}=\,\frac{4}{3}\sigma_{T}c\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}U_{B}\cong\,1.1\times10^{-15}\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{2}~{\rm erg\,s}^{-1}</math>
 
<math>P_{s}=\,\frac{4}{3}\sigma_{T}c\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}U_{B}\cong\,1.1\times10^{-15}\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{2}~{\rm erg\,s}^{-1}</math>
שורה 29: שורה 32:
 
<math>U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}</math>
 
<math>U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}</math>
  
ו &sigma;<sub>T</sub> הינו [[קבועים פיזיקלים|חתך הפעולה של תומסון]].
+
ו-&sigma;<sub>T</sub> הינו [[קבועים פיזיקלים|חתך הפעולה של תומסון]].
 +
 
 +
הספק הקרינה הסגולי (ליחידת תדר) מאלקטרון בודד בתדירות הפליטה האופיינית (בהנחה של תווך [[עומק אופטי|דק אופטית]]) ניתן ע"י:
 +
 
 +
<math>P_{\nu,max}\cong\,\frac{P_{s}}{\nu_{s}}=\,\frac{m_{e}c^{2}\sigma_{T}\beta_{e}^{2}B}{3e}</math>
 +
 
 +
עוד נציין כי במידה והאזור ממנו נפלטת הקרינה נע לעבר הצופה במהירות יחסותית עם מקדם לורנץ <math>\Gamma</math> (שימו לב, זהו איננו מקדם לורנץ של האלקטרונים, &gamma;<sub>e</sub>, שמציין את מהירות האלקטרונים במערכת האזור הפולט), אזי את P<sub>s</sub> יש להכפיל ב <math>\Gamma^2</math>. לעומת זאת את תדירות הסינכרוטרון האופיינית והספק הקרינה הסגולי יש להכפיל ב <math>\Gamma</math>.
  
 
===זמן הקירור===
 
===זמן הקירור===
  
 
'''זמן הקרור של קרינת סינכרוטרון''' ('''Synchrotron Cooling Time'''), מסומן ב t<sub>s</sub>, מוגדר להיות הזמן שלוקח לאלקטרון יחסותי שהאנרגיה הקינטית שלו
 
'''זמן הקרור של קרינת סינכרוטרון''' ('''Synchrotron Cooling Time'''), מסומן ב t<sub>s</sub>, מוגדר להיות הזמן שלוקח לאלקטרון יחסותי שהאנרגיה הקינטית שלו
ניתנת ע"י <math>\gamma_{e}m_{e}c^{2}</math> לאבד את האנרגיה שלו. זמן זה ניתן מחלוקת האנרגיה בהספק והוא:
+
נתונה ע"י <math>\gamma_{e}m_{e}c^{2}</math> לאבד את האנרגיה שלו. זמן זה ניתן מחלוקת האנרגיה בהספק והוא:
  
 
<math>t_{s}=\,\frac{\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{P_{s}}\cong\,7.7\times10^{8}\beta_{e}^{-2}\gamma_{e}^{-1}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-2}~{\rm s}</math>
 
<math>t_{s}=\,\frac{\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{P_{s}}\cong\,7.7\times10^{8}\beta_{e}^{-2}\gamma_{e}^{-1}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-2}~{\rm s}</math>
  
הנוסחא האחרונה נכונה רק כאשר ה[[עומק אופטי|עומק האופטי]] בתדירות הסינכרוטרון הינה קטנה מ 1. אחרת יש להביא בחשבון שהאלקטרון מקבל אנרגיה מפוטונים הנפלטים מאלקטרונים אחרים - מצב הקרוי '''בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון''' ('''Synchrotron Self Absorption''') ויפורט בהמשך.
+
הנוסחה האחרונה נכונה רק כאשר ה[[עומק אופטי|עומק האופטי]] בתדירות הסינכרוטרון קטן מ 1. אחרת יש להביא בחשבון את העובדה שהאלקטרון מקבל אנרגיה מפוטונים הנפלטים מאלקטרונים אחרים ונבלעים על ידו - מצב הקרוי '''בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון''' ('''Synchrotron Self Absorption''') ויפורט בהמשך.
  
בהינתן זמן הקירור ותדירות הסינכרוטרון ניתן לפתור (שתי משוואות בשני נעלמים) עבור &gamma; ו B והם:
+
בהינתן זמן הקירור ותדירות הסינכרוטרון ניתן לחלץ את <math>\gamma_e</math> ו B, מתוך פתרון שתי המשוואות לגדלים אלה הנזכרות לעיל, ומקבלים:
  
 
<math>B\cong\,1.2\times10^{5}\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{-1/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{-2/3}~{\rm G}</math>
 
<math>B\cong\,1.2\times10^{5}\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{-1/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{-2/3}~{\rm G}</math>
שורה 46: שורה 55:
 
ו
 
ו
  
<math>\gamma\cong\,0.055\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{2/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{1/3}</math>
+
<math>\gamma_e\cong\,0.055\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{2/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{1/3}</math>
  
 
===הספק ליחידת זווית מרחבית===
 
===הספק ליחידת זווית מרחבית===
  
ההספק של קרינת סינכרוטרון ליחידת זווית מרחבית ניתן ע"י:
+
<!--
 +
[[תמונה:Syn_OpenAngle.jpg|שמאל|250px|ממוזער|ספקטרום של קרינת סינכרוטרון. באיור מוצגת הפונקציה <math>F(x)</math> הקובעת את הספקטרום של קרינת סינכרוטרון.]]
 +
-->
 +
 
 +
במידה והאלקטרון נע בניצב לכיוון השדה המגנטי, ההספק של קרינת סינכרוטרון ליחידת זווית מרחבית ניתן ע"י:
  
 
<math>\frac{dE}{d\Omega}=\,\frac{e^{4}B^{2}\beta_{e}^2(1-\beta_{e}^2)}{8\pi^2m_{e}^2c^3}\Big[ \frac{2+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta}{(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{5/2}}-\frac{(1-\beta_{e}^{2})(4+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)\cos^{2}\theta}{4(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{7/2}} \Big]</math>
 
<math>\frac{dE}{d\Omega}=\,\frac{e^{4}B^{2}\beta_{e}^2(1-\beta_{e}^2)}{8\pi^2m_{e}^2c^3}\Big[ \frac{2+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta}{(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{5/2}}-\frac{(1-\beta_{e}^{2})(4+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)\cos^{2}\theta}{4(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{7/2}} \Big]</math>
  
כאשר &theta; הינה הזווית בין כיוון הצופה והמישור הניצב לכיוון השדה המגנטי (מישור התנועה של החלקיק).
+
כאשר &theta; הינה הזווית בין כיוון הצופה וכוון התנועה של החלקיק.
 +
ניתן לראות כי ההספק ליחידת זוית מקסימלי כאשר האלקטרון נע לעבר הצופה (<math>\cos{~\theta}=1</math>).
 +
אם האלקטרון מאוד יחסותי (<math>\beta_e\rightarrow1</math> ; <math>\gamma_e\gg1</math>), כמעט כל ההספק נפלט בכוון התנועה של האלקטרון באלומה צרה בעלת זווית פתיחה ~ <math>\gamma_e</math>.
 +
זוהי פשוט התגלמות של [[אפקט האלומתיות היחסותי]].
 +
צופה הנמצא במישור התנועה של האלקטרון יראה פעימה של קרינה בכל פעם שכוון תנועת האלקטרון חוצה את קו הראיה שלו.
 +
תדירות הפעימות היא תדירות הסיבוב של האלקטרון, ומשך כל פעימה מתכונתי ל-<math>\nu_s^{-1}</math>.
 +
במעבר למרחב התדירויות אנו מקבלים כעת רצף של תדירויות הנקטע סביב תדירות הסינכוטרון.
  
 
===ספקטרום===
 
===ספקטרום===
  
בהנחה שלכל האלקטרונים אותה אנרגיה, <math>\gamma m_{e}c^{2}</math>, אזי נגדיר את התדירות:
+
[[תמונה:sync_Fx.jpg|שמאל|250px|ממוזער|ספקטרום של קרינת סינכרוטרון. באיור מוצגת הפונקציה <math>F(x)</math> הקובעת את הספקטרום של קרינת סינכרוטרון.]]
 +
 
 +
על מנת לקבל את ספקטרום קרינת הסינכוטרון הנפלטת מהאלקטרון, מגדירים את התדירות הקריטית:
  
<math>\omega_{c}=\,\gamma^{2}\frac{3}{2}\frac{eB\sin{\alpha}}{m_{e}c}</math>
+
<math>\nu_{c}=\,\gamma^{2}\frac{3}{4\pi}\frac{eB\sin{\alpha}}{m_{e}c}</math>
  
 
כאשר &alpha; (נקראת גם: pitch angle) היא הזווית בין כיוון השדה המגנטי וכיוון התנועה של האלקטרונים.
 
כאשר &alpha; (נקראת גם: pitch angle) היא הזווית בין כיוון השדה המגנטי וכיוון התנועה של האלקטרונים.
  
במקרה שלכל האלקטרונים אותה אנרגיה, אזי ספקטרום קרינת הסינכרוטרון ניתן ע"י:
+
הספקטרום ניתן ע"י:
  
<math>\frac{dI}{d\omega}=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}B}{2\pi m_{e}c^{2}}F\Big(\frac{\omega}{\omega_{c}}\Big)</math>
+
<math>\frac{dI}{d\nu}=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}B\sin\alpha}{m_{e}c^{2}}F\Big(\frac{\nu}{\nu_{c}}\Big)</math>
  
 
כאשר:
 
כאשר:
שורה 72: שורה 93:
 
<math>F(\xi)=\,\xi\int_{\xi}^{\infty}{K_{5/3}(z)dz}</math>
 
<math>F(\xi)=\,\xi\int_{\xi}^{\infty}{K_{5/3}(z)dz}</math>
  
וכאשר K<sub>5/3</sub> הינה פונקציית מקדונלד שניתנת ע"י:
+
ו K<sub>5/3</sub> היא פונקציית בסל המותאמת מסדר שני (modified bessel function of the second order) הידועה גם כפונקציית מקדונלד:
  
 
<math>K_{u}(z)=\,\frac{\Gamma(u+1/2)(2z)^{u}}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{(t^{2}+z^{2})^{u+1/2}}dt}</math>
 
<math>K_{u}(z)=\,\frac{\Gamma(u+1/2)(2z)^{u}}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{(t^{2}+z^{2})^{u+1/2}}dt}</math>
  
במקרה ולאלקטרונים יש התפלגות אנרגיות שניתנת לביטוי ע"י חוק חזקה מהטיפוס:
+
הגרף משמאל מתאר כיצד נראית <math>\,F(\xi)</math>.
 +
מגרף זה ניתן להסיק כי הקרינה מקסימלית בתדירות <math>\nu=0.29\nu_{c}</math>.
 +
גם משמעות התדירות <math>\nu_c</math> מתבררת מהגרף המראה כי מעבר לתדירות זו עוצמת הקרינה דועכת אקספוננציאלית.
 +
 
 +
אם ניקח כעת אוכלוסית אלקטרונים בעלי התפלגות אנרגיה, <math>E(\gamma)=\gamma m_{e}c^{2}</math>,
 +
שניתנת לביטוי ע"י חוק חזקה מהטיפוס:
  
 
<math>n(E)dE=\,CE^{-p}dE</math>
 
<math>n(E)dE=\,CE^{-p}dE</math>
  
אזי סה"כ ההספק בקרינת סינכרוטרון ליחידת תדר זוויתי &omega; ניתנת ע"י:
+
אזי סה"כ ההספק בקרינת סינכרוטרון ליחידת תדר ניתן ע"י:
  
<math>P_{tot}(\omega)=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}CB\sin{\alpha}}{2\pi m_{e}c^{2}(p+1)}\Gamma\Big(\frac{3p-1}{12}\Big)\Gamma\Big(\frac{3p+19}{12}\Big)\Big(\frac{m_{e}^{3}c^{5}\omega}{3eB\sin{\alpha}}\Big)^{-(p-1)/2}\propto \omega^{(1-p)/2} B^{(3-p)/2}</math>
+
<math>P_{tot}(\nu)=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}CB\sin{\alpha}}{m_{e}c^{2}(p+1)}\Gamma\Big(\frac{3p-1}{12}\Big)\Gamma\Big(\frac{3p+19}{12}\Big)\Big(\frac{m_{e}^{3}c^{5}\nu}{6\pi eB\sin{\alpha}}\Big)^{-(p-1)/2}\propto \nu^{(1-p)/2} B^{(3-p)/2}</math>
  
 
===בליעה עצמית===
 
===בליעה עצמית===
  
בתדירויות נמוכות יתכן מצב ובו האלקטרונים יבלעו את הפוטונים הנפלפטים על ידיהם. מצב הקרוי '''בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון''' ('''Synchrotron Self-Absorption'''). במצב זה ספקטרום קרינת הסינכרוטרון מתחת לתדירות שבה ה[[עומק אופטי|עומק האופטי]] לבליעה ע"י האלקטרונים גדול מיחידה ניתן ע"י &nu;<sup>5/2</sup>. הסבר פשוט לספקטרום הנ"ל הינו [[קרינת גוף שחור|ספקטרום ריילי ג'ינס]]:
+
בתדירויות נמוכות יתכן מצב ובו האלקטרונים יבלעו את הפוטונים הנפלטים על ידיהם. מצב הקרוי '''בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון''' ('''Synchrotron Self-Absorption'''). במצב זה ספקטרום קרינת הסינכרוטרון מתחת לתדירות שבה ה[[עומק אופטי|עומק האופטי]] לבליעה ע"י האלקטרונים גדול מיחידה מתכונתי ל:
  
<math>I_{\nu}=\,2\Big(\frac{\nu}{c}\Big)^{2}k_{B}T</math>  
+
<math>I_{\nu}\propto\,\nu^{5/2}</math>
  
שבו אנו מחליפים את האנרגיה הממוצעת של פוטון <math>k_{B}T</math> ב: <math>\gamma m_{e}c^{2}</math>
+
ספקטרום זה שונה מזה המתקבל ב]]קרינת גוף שחור]] בתחום התדירויות המתאים [[קרינת גוף שחור|לספקטרום ריילי ג'ינס]], שם מתקבל מקדם חזקה של 2.
 +
ניתן להבין את ההבדל מתוך השיקול הבא:
 +
בספקטרום ריילי ג'ינס העוצמה ניתנת ע"י:
  
ו <math>\nu=\,\gamma^{2}\nu_{L}</math>
+
<math>I_{\nu}=\,2\Big(\frac{\nu}{c}\Big)^{2}k_{B}T</math>  
 
 
כאשר &nu;<sub>L</sub> הינה '''תדירות לרמור''' (Larmor Frequency)
 
 
 
ומכאן מקבלים כי:
 
  
<math>I_{\nu}\propto\,\nu^{5/2}</math>
+
לעומת זאת, במקרה הנדון כאן הפליטה איננה תרמית, ופוטונים בתדירות <math>\nu</math> נפלטים בעיקר ע"י אלקטרונים עבורם
 +
<math>\nu_c=\nu</math>. 
 +
לכן נוכל לרשום <math>K_{B}T=\gamma_{c}m_ec^2</math>.
 +
כפי שראינו בתחילת הנספח, <math>\gamma_c\propto\sqrt{\nu_c}</math>, ומכאן נקבל שספקטרום הבליעה העצמית של קרינת סינכרוטרון הינו בעל חוק חזקה עם אינדקס 5/2.
  
 
===אנרגיה בשדה מגנטי ואנרגיה של האלקטרונים===
 
===אנרגיה בשדה מגנטי ואנרגיה של האלקטרונים===
שורה 110: שורה 137:
 
<math>U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}</math>
 
<math>U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}</math>
  
בעריכה
+
 
 +
 
 +
====פתרון במקרה הדק אופטית====
 +
 
 +
עבור המקרה הדק אופטי ([[עומק אופטי]] קטן מ 1),
 +
הספק הקרינה ליחידת תדר בתדירות האופיינית (תדירות הסינכרוטרון):
 +
 
 +
<math>L_{\nu}\approx\, \frac{4}{3 \pi R^{3} n_{e}}\frac{P_{s}}{\nu_{s}}</math>
 +
 
 +
כאשר R הינו רדיוס האזור הפולט קרינת סינכרוטרון (בהנחה שהקרינה נפלטת באופן סימטרי מכדור) ו n<sub>e</sub> הינה צפיפות האלקטרונים באזור הפולט.
 +
 
 +
היחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה בשדה המגנטי:
 +
 
 +
<math>\frac{U_{e}}{U_{B}}=\,\frac{n_{e}\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{B^{2}/(8\pi)}</math>
 +
 
 +
במקרה זה ובהינתן זמן הקירור t<sub>s</sub>, תדירות הסינכרוטרון &nu;<sub>s</sub>,
 +
הספק הקרינה ליחידת תדר בתדירות האופיינית (תדירות הסינכרוטרון) והיחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה בשדה המגנטי
 +
ובהנחה כי <math>\beta=1</math> (המקרה האולטרא יחסותי) ניתן לפתור עבור B, &gamma;<sub>e</sub>, R ו n<sub>e</sub> ולקבל את הפתרון המקורב:
 +
 
 +
<math>B\approx \, \frac{(18 \pi e m_{e} c)^{1/3}}{\sigma_{T}^{2/3} \nu_{s}^{1/3} t_{s}^{2/3}}</math>
 +
 
 +
<math>\gamma_{e}\approx\,\frac{(18\sigma_{T}\pi m_{e}c t_{s}\nu_{s}^{2})^{1/3}}{3e^{2/3}}</math>
 +
 
 +
<math>n_{e}\approx\,3\frac{18^{1/3} (U_{e}/U_{B}) e^{4/3}}{8(c\sigma_{T} t_{s})^{5/3}(\pi m_{e}\nu_{s}^{2})^{2/3}}</math>
 +
 
 +
<math>R\approx\,\frac{3^{8/9}2^{1/9}\sigma_{T}^{4/9}L_{\nu}^{1/3}\nu_{s}^{5/9}t_{s}^{7/9}}{3(\pi e m_{e}c)^{2/9}(U_{e}/U_{B})^{1/3}}</math>
 +
 
 +
משיקולים של מיזעור האנרגיה הכללית של המערכת, במקרים רבים היחס <math>U_{e}/U_{B}</math> הינו קרוב ל 1.
 +
 
 +
====טמפרטורת הבהירות של שווי משקל====
 +
 
 +
'''טמפרטורת הבהירות של שווי משקל''' ('''Equipartition Brightness Temperature''') היא [[קרינת גוף שחור|טמפרטורת הבהירות]] של מקור קרינת סינכרוטרון שבו
 +
היחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה של השדה המגנטי הוא 1 - קרי:
 +
 
 +
<math>U_{e}/U_{B}=\,1</math>
 +
 
 +
טמפרטורת הבהירות מסומנת ב T<sub>B</sub> וניתנת ע"י (ראו: [[קרינת גוף שחור]]):
 +
 
 +
<math>T_{B}=\frac{S_{\nu}}{2\pi k_{B}} \Big(\frac{c}{\nu}\Big)^{2} \Big(\frac{d}{R}\Big)^{2}</math>
 +
 
 +
כאשר S<sub>&nu;</sub> הוא שטף הקרינה הסגולי ליחידת תדר (specific flux) כפי שנמדד ע"י הצופה, R הינו רדיוס המקור, d המרחק אל המקור, c היא [[מהירות האור]], ו k<sub>B</sub> הינו [[קבועים פיזיקלים|קבוע סטפן בולצמן]].
 +
שטף הקרינה הסגולי קשור להארה הסגולית (specific luminosity) שמסומנת ב L<sub>&nu;</sub> ע"י:
 +
 
 +
<math>S_{\nu}=\,\frac{L_{\nu}}{4\pi d^{2}}</math>
  
 
===הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי===
 
===הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי===
  
בעריכה
+
כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון קטן מיחידה ניתן להעריך את צפיפות האנרגיה בקרינת סינכוטרון ע"י:
  
כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון קטן מיחידה ניתן להעריך את צפיפות האנרגיה בקרינה ע"י:
+
<math>U_{s}\approx\frac{P_sn_eR}{c}=\frac{RU_{e}}{ct_{s}}</math>
  
<math>U_{rad}\approx\,\frac{RU_{e}}{ct_{s}}</math>
+
כאשר R מציין את הגודל האופייני של האזור הפולט קרינת סינכרוטרון, ו-<math>n_e</math> את צפיפות האלקטרונים.
  
כאשר R הינו הגודל האופייני של האזור הפולט קרינת סינכרוטרון.
+
במצב זה חלק מהפוטונים שנפלטו יעברו [[פיזור קומפטון|פיזור קומפטון הופכי]] (Inverse Compton Scattering) ע"י האלקטרונים ויגדילו את האנרגיה שלהם. במידה וצפיפות האנרגיה בקרינת [[פיזור קומפטון|הפיזור ההופכי]] גדולה יותר מ-<math>U_s</math>, היא תשפיע על אנרגית האלקטרונים ותשנה את ספקטרום קרינת הסינכוטרון. במצב זה לא יתכן פיתרון עמיד (שאינו משתנה בזמן), והוא קרוי '''הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי'''.
 +
<!---
 +
במידה וצפיפות האנרגיה בקרינה גדולה יותר מצפיפות האנרגיה של האלקטרונים אזי [[פיזור קומפטון]] ההפוכי יהיה דומיננטי וישנה את הספקטרום של קרינת הסינכרוטרון. המצב שבו <math>U_{rad}\gtrsim U_{e}</math> קרוי '''הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי'''.
 +
--->
  
 
==ראו גם==
 
==ראו גם==
  
 +
* [[רדיוס לרמור]]
 
* [[קרינה אלקטרומגנטית]]
 
* [[קרינה אלקטרומגנטית]]
 +
* [[לחץ קרינה]]
 
* [[קרינת עצר]]
 
* [[קרינת עצר]]
 +
* [[קרינת גוף שחור]]
 +
* [[פיזור קומפטון]]
 +
* [[עומק אופטי]]
  
 
==הרצאות וידאו==
 
==הרצאות וידאו==
שורה 136: שורה 214:
 
'''מחברים'''
 
'''מחברים'''
 
----
 
----
[[רשימת מחברים#ערן אופק|ערן אופק]]
+
[[רשימת מחברים#ערן אופק|ערן אופק]],
 +
[[רשימת מחברים#עמר ברומברג|עמר ברומברג]]
  
 
[[קטגוריה:פיזיקה]]
 
[[קטגוריה:פיזיקה]]

גרסה אחרונה מ־03:01, 28 בפברואר 2010

קרינת סינכרוטרון (באנגלית: Synchrotron Radiation) הינה קרינה אלקטרומגנטית הנפלטת כתוצאה מתנועה של אלקטרונים (או חלקיקים טעונים אחרים) הנעים במהירויות יחסותיות (קרובות למהירות האור) בשדה מגנטי. במצב זה האלקטרונים ינועו גם מסביב לקוי השדה המגנטי וכתוצאה מהתאוצה שלהם יפלטו קרינה אלקטרומגנטית.

כאשר האלקטרונים אינם יחסותיים אזי הקרינה נקראת קרינת ציקלוטרון (באנגלית: Cyclotron Radiation - ראו גם: רדיוס לרמור).

קרינת סינכרוטרון נפלטת ממגוון רחב של עצמים ותופעות אסטרופיזיקליות. מניתוח הספקטרום של מקור הפולט קרינת סינכרוטרון ניתן ללמוד על מאפיניו כגון, גודלו, עוצמת השדה המגנטי, צפיפות האלקטרונים החופשיים ועוד.

נספח מתמטי

כל הנוסחאות והגדלים בנספח זה מבוטאים במערכת היחידות cgs.

תדירות הסינכרוטרון

בשונה מקרינת ציקלוטרון בה תדירות הקרינה היא תדירות הסיבוב של האלקטרון, קרינת הסינכוטרון מאלקטרון בודד נפלטת על פני טווח רחב של תדירויות (ראו דיון בסעיף הספק ליחידת זוית מרחבית). התדירות האופיינית לפליטה במערכת היחוס של הצופה, נקראת גם תדירות הסינכוטרון, וניתנת ע"י:

\nu_{s}=\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{2\pi m_{e}c}\cong\,2.8\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}

כאשר:

\gamma_{e}=\,(1-\beta_{e}^{2})^{-1/2}

הוא מקדם לורנץ של האלקטרונים שמהירותם ביחידות של מהירות האור, c, היא βe. מטען האלקטרון מסומן ב e, ומסת האלקטרון ב me.

במציאות תדירות הקרינה תלויה גם בזווית שבין כוון תנועת האלקטרון וכוון השדה המגנטי, והיא מקבלת את ערכה המקסימלי כאשר שני הוקטורים ניצבים אחד לשני (ראו סעיף: ספקטרום הקרינה). הספק הקרינה, Ps, שנפלטת ע"י האלקטרון היחסותי מתקבל מתוך מיצוע על כל כווני התנועה האפשריים:

P_{s}=\,\frac{4}{3}\sigma_{T}c\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}U_{B}\cong\,1.1\times10^{-15}\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{2}~{\rm erg\,s}^{-1}

כאשר צפיפות האנרגיה של השדה המגנטי ניתנת ע"י:

U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}

ו-σT הינו חתך הפעולה של תומסון.

הספק הקרינה הסגולי (ליחידת תדר) מאלקטרון בודד בתדירות הפליטה האופיינית (בהנחה של תווך דק אופטית) ניתן ע"י:

P_{\nu,max}\cong\,\frac{P_{s}}{\nu_{s}}=\,\frac{m_{e}c^{2}\sigma_{T}\beta_{e}^{2}B}{3e}

עוד נציין כי במידה והאזור ממנו נפלטת הקרינה נע לעבר הצופה במהירות יחסותית עם מקדם לורנץ \Gamma (שימו לב, זהו איננו מקדם לורנץ של האלקטרונים, γe, שמציין את מהירות האלקטרונים במערכת האזור הפולט), אזי את Ps יש להכפיל ב \Gamma^2. לעומת זאת את תדירות הסינכרוטרון האופיינית והספק הקרינה הסגולי יש להכפיל ב \Gamma.

זמן הקירור

זמן הקרור של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Cooling Time), מסומן ב ts, מוגדר להיות הזמן שלוקח לאלקטרון יחסותי שהאנרגיה הקינטית שלו נתונה ע"י \gamma_{e}m_{e}c^{2} לאבד את האנרגיה שלו. זמן זה ניתן מחלוקת האנרגיה בהספק והוא:

t_{s}=\,\frac{\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{P_{s}}\cong\,7.7\times10^{8}\beta_{e}^{-2}\gamma_{e}^{-1}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-2}~{\rm s}

הנוסחה האחרונה נכונה רק כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון קטן מ 1. אחרת יש להביא בחשבון את העובדה שהאלקטרון מקבל אנרגיה מפוטונים הנפלטים מאלקטרונים אחרים ונבלעים על ידו - מצב הקרוי בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Self Absorption) ויפורט בהמשך.

בהינתן זמן הקירור ותדירות הסינכרוטרון ניתן לחלץ את \gamma_e ו B, מתוך פתרון שתי המשוואות לגדלים אלה הנזכרות לעיל, ומקבלים:

B\cong\,1.2\times10^{5}\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{-1/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{-2/3}~{\rm G}

ו

\gamma_e\cong\,0.055\Big(\frac{\nu_{s}}{10^{9}\,{\rm Hz}}\Big)^{2/3}\Big(\frac{t_{s}}{1\,{\rm s}}\Big)^{1/3}

הספק ליחידת זווית מרחבית

במידה והאלקטרון נע בניצב לכיוון השדה המגנטי, ההספק של קרינת סינכרוטרון ליחידת זווית מרחבית ניתן ע"י:

\frac{dE}{d\Omega}=\,\frac{e^{4}B^{2}\beta_{e}^2(1-\beta_{e}^2)}{8\pi^2m_{e}^2c^3}\Big[ \frac{2+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta}{(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{5/2}}-\frac{(1-\beta_{e}^{2})(4+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)\cos^{2}\theta}{4(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{7/2}} \Big]

כאשר θ הינה הזווית בין כיוון הצופה וכוון התנועה של החלקיק. ניתן לראות כי ההספק ליחידת זוית מקסימלי כאשר האלקטרון נע לעבר הצופה (\cos{~\theta}=1). אם האלקטרון מאוד יחסותי (\beta_e\rightarrow1 ; \gamma_e\gg1), כמעט כל ההספק נפלט בכוון התנועה של האלקטרון באלומה צרה בעלת זווית פתיחה ~ \gamma_e. זוהי פשוט התגלמות של אפקט האלומתיות היחסותי. צופה הנמצא במישור התנועה של האלקטרון יראה פעימה של קרינה בכל פעם שכוון תנועת האלקטרון חוצה את קו הראיה שלו. תדירות הפעימות היא תדירות הסיבוב של האלקטרון, ומשך כל פעימה מתכונתי ל-\nu_s^{-1}. במעבר למרחב התדירויות אנו מקבלים כעת רצף של תדירויות הנקטע סביב תדירות הסינכוטרון.

ספקטרום

ספקטרום של קרינת סינכרוטרון. באיור מוצגת הפונקציה F(x) הקובעת את הספקטרום של קרינת סינכרוטרון.

על מנת לקבל את ספקטרום קרינת הסינכוטרון הנפלטת מהאלקטרון, מגדירים את התדירות הקריטית:

\nu_{c}=\,\gamma^{2}\frac{3}{4\pi}\frac{eB\sin{\alpha}}{m_{e}c}

כאשר α (נקראת גם: pitch angle) היא הזווית בין כיוון השדה המגנטי וכיוון התנועה של האלקטרונים.

הספקטרום ניתן ע"י:

\frac{dI}{d\nu}=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}B\sin\alpha}{m_{e}c^{2}}F\Big(\frac{\nu}{\nu_{c}}\Big)

כאשר:

F(\xi)=\,\xi\int_{\xi}^{\infty}{K_{5/3}(z)dz}

ו K5/3 היא פונקציית בסל המותאמת מסדר שני (modified bessel function of the second order) הידועה גם כפונקציית מקדונלד:

K_{u}(z)=\,\frac{\Gamma(u+1/2)(2z)^{u}}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{(t^{2}+z^{2})^{u+1/2}}dt}

הגרף משמאל מתאר כיצד נראית \,F(\xi). מגרף זה ניתן להסיק כי הקרינה מקסימלית בתדירות \nu=0.29\nu_{c}. גם משמעות התדירות \nu_c מתבררת מהגרף המראה כי מעבר לתדירות זו עוצמת הקרינה דועכת אקספוננציאלית.

אם ניקח כעת אוכלוסית אלקטרונים בעלי התפלגות אנרגיה, E(\gamma)=\gamma m_{e}c^{2}, שניתנת לביטוי ע"י חוק חזקה מהטיפוס:

n(E)dE=\,CE^{-p}dE

אזי סה"כ ההספק בקרינת סינכרוטרון ליחידת תדר ניתן ע"י:

P_{tot}(\nu)=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}CB\sin{\alpha}}{m_{e}c^{2}(p+1)}\Gamma\Big(\frac{3p-1}{12}\Big)\Gamma\Big(\frac{3p+19}{12}\Big)\Big(\frac{m_{e}^{3}c^{5}\nu}{6\pi eB\sin{\alpha}}\Big)^{-(p-1)/2}\propto \nu^{(1-p)/2} B^{(3-p)/2}

בליעה עצמית

בתדירויות נמוכות יתכן מצב ובו האלקטרונים יבלעו את הפוטונים הנפלטים על ידיהם. מצב הקרוי בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Self-Absorption). במצב זה ספקטרום קרינת הסינכרוטרון מתחת לתדירות שבה העומק האופטי לבליעה ע"י האלקטרונים גדול מיחידה מתכונתי ל:

I_{\nu}\propto\,\nu^{5/2}

ספקטרום זה שונה מזה המתקבל ב]]קרינת גוף שחור]] בתחום התדירויות המתאים לספקטרום ריילי ג'ינס, שם מתקבל מקדם חזקה של 2. ניתן להבין את ההבדל מתוך השיקול הבא: בספקטרום ריילי ג'ינס העוצמה ניתנת ע"י:

I_{\nu}=\,2\Big(\frac{\nu}{c}\Big)^{2}k_{B}T

לעומת זאת, במקרה הנדון כאן הפליטה איננה תרמית, ופוטונים בתדירות \nu נפלטים בעיקר ע"י אלקטרונים עבורם \nu_c=\nu. לכן נוכל לרשום K_{B}T=\gamma_{c}m_ec^2. כפי שראינו בתחילת הנספח, \gamma_c\propto\sqrt{\nu_c}, ומכאן נקבל שספקטרום הבליעה העצמית של קרינת סינכרוטרון הינו בעל חוק חזקה עם אינדקס 5/2.

אנרגיה בשדה מגנטי ואנרגיה של האלקטרונים

צפיפות האנרגיה הקינטית של האלקטרונים ניתנת ע"י:

U_{e}=\,n_{e}\gamma m_{e} c^{2}\cong\,8.19\times10^{-7}\Big(\frac{n_{e}}{1\,{\rm cm}^{-3}}\Big)\gamma~{\rm erg\,cm}^{-3}

וצפיפות האנרגיה של השדה המגנטי:

U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}


פתרון במקרה הדק אופטית

עבור המקרה הדק אופטי (עומק אופטי קטן מ 1), הספק הקרינה ליחידת תדר בתדירות האופיינית (תדירות הסינכרוטרון):

L_{\nu}\approx\, \frac{4}{3 \pi R^{3} n_{e}}\frac{P_{s}}{\nu_{s}}

כאשר R הינו רדיוס האזור הפולט קרינת סינכרוטרון (בהנחה שהקרינה נפלטת באופן סימטרי מכדור) ו ne הינה צפיפות האלקטרונים באזור הפולט.

היחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה בשדה המגנטי:

\frac{U_{e}}{U_{B}}=\,\frac{n_{e}\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{B^{2}/(8\pi)}

במקרה זה ובהינתן זמן הקירור ts, תדירות הסינכרוטרון νs, הספק הקרינה ליחידת תדר בתדירות האופיינית (תדירות הסינכרוטרון) והיחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה בשדה המגנטי ובהנחה כי \beta=1 (המקרה האולטרא יחסותי) ניתן לפתור עבור B, γe, R ו ne ולקבל את הפתרון המקורב:

B\approx \, \frac{(18 \pi e m_{e} c)^{1/3}}{\sigma_{T}^{2/3} \nu_{s}^{1/3} t_{s}^{2/3}}

\gamma_{e}\approx\,\frac{(18\sigma_{T}\pi m_{e}c t_{s}\nu_{s}^{2})^{1/3}}{3e^{2/3}}

n_{e}\approx\,3\frac{18^{1/3} (U_{e}/U_{B}) e^{4/3}}{8(c\sigma_{T} t_{s})^{5/3}(\pi m_{e}\nu_{s}^{2})^{2/3}}

R\approx\,\frac{3^{8/9}2^{1/9}\sigma_{T}^{4/9}L_{\nu}^{1/3}\nu_{s}^{5/9}t_{s}^{7/9}}{3(\pi e m_{e}c)^{2/9}(U_{e}/U_{B})^{1/3}}

משיקולים של מיזעור האנרגיה הכללית של המערכת, במקרים רבים היחס U_{e}/U_{B} הינו קרוב ל 1.

טמפרטורת הבהירות של שווי משקל

טמפרטורת הבהירות של שווי משקל (Equipartition Brightness Temperature) היא טמפרטורת הבהירות של מקור קרינת סינכרוטרון שבו היחס בין צפיפות האנרגיה של האלקטרונים לצפיפות האנרגיה של השדה המגנטי הוא 1 - קרי:

U_{e}/U_{B}=\,1

טמפרטורת הבהירות מסומנת ב TB וניתנת ע"י (ראו: קרינת גוף שחור):

T_{B}=\frac{S_{\nu}}{2\pi k_{B}} \Big(\frac{c}{\nu}\Big)^{2} \Big(\frac{d}{R}\Big)^{2}

כאשר Sν הוא שטף הקרינה הסגולי ליחידת תדר (specific flux) כפי שנמדד ע"י הצופה, R הינו רדיוס המקור, d המרחק אל המקור, c היא מהירות האור, ו kB הינו קבוע סטפן בולצמן. שטף הקרינה הסגולי קשור להארה הסגולית (specific luminosity) שמסומנת ב Lν ע"י:

S_{\nu}=\,\frac{L_{\nu}}{4\pi d^{2}}

הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי

כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון קטן מיחידה ניתן להעריך את צפיפות האנרגיה בקרינת סינכוטרון ע"י:

U_{s}\approx\frac{P_sn_eR}{c}=\frac{RU_{e}}{ct_{s}}

כאשר R מציין את הגודל האופייני של האזור הפולט קרינת סינכרוטרון, ו-n_e את צפיפות האלקטרונים.

במצב זה חלק מהפוטונים שנפלטו יעברו פיזור קומפטון הופכי (Inverse Compton Scattering) ע"י האלקטרונים ויגדילו את האנרגיה שלהם. במידה וצפיפות האנרגיה בקרינת הפיזור ההופכי גדולה יותר מ-U_s, היא תשפיע על אנרגית האלקטרונים ותשנה את ספקטרום קרינת הסינכוטרון. במצב זה לא יתכן פיתרון עמיד (שאינו משתנה בזמן), והוא קרוי הקטסטרופה של תהליך קומפטון הנגדי.

ראו גם

הרצאות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק, עמר ברומברג