קרינת סינכרוטרון

מתוך אסטרופדיה
גרסה מ־08:31, 19 בינואר 2010 מאת Eran (שיחה | תרומות) (בליעה עצמית)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קרינת סינכרוטרון (באנגלית: Synchrotron Radiation) הינה קרינה אלקטרומגנטית הנפלטת כתוצאה מתנועה של אלקטרונים (או חלקיקים טעונים אחרים) הנעים במהירויות יחסותיות (קרובות למהירות האור) בשדה מגנטי. במצב זה האלקטרונים ינועו גם מסביב לקוי השדה המגנטי וכתוצאה מהתאוצה שלהם יפלטו קרינה אלקטרומגנטית.

כאשר האלקטרונים אינם יחסותיים אזי הקרינה נקראת קרינת ציקלוטרון (באנגלית: Cyclotron Radiation).

קרינת סינכרוטרון נפלטת ממגוון רחב של עצמים ותופעות אסטרופיזיקליות. מניתוח הספקטרום של מקור הפולט קרינת סינכרוטרון ניתן ללמוד על מאפיניו כגון, גודלו, עוצמת השדה המגנטי, צפיפות האלקטרונים החופשיים ועוד.

נספח מתמטי

כל הנוסחאות והגדלים בנספח זה מבוטאים במערכת היחידות cgs.

תדירות הסינכרוטרון

תדירות הסינכרוטרון (במערכת היחוס של הצופה) ניתנת ע"י:

\nu_{s}=\,\gamma_{e}^{2}\frac{eB}{2\pi m_{e}c}\cong\,2.8\times10^{6}\gamma_{e}^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}~{\rm Hz}

כאשר:

\gamma_{e}=\,(1-\beta_{e}^{2})^{-1/2}

הוא פקטור לורנץ של האלקטרונים שמהירותם ביחידות של מהירות האור c הינו βe. מטען האלקטרון מסומן ב e, ומסת האלקטרון ב me.

ההספק, Ps, שנפלט ע"י אלקטרון יחסותי בודד בקרינת סינכרוטרון (לאחר מיצוע על כל הכיוונים) הינו:

P_{s}=\,\frac{4}{3}\sigma_{T}c\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}U_{B}\cong\,1.1\times10^{-15}\beta_{e}^{2}\gamma_{e}^{2}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{2}~{\rm erg\,s}^{-1}

כאשר צפיפות האנרגיה של השדה המגנטי ניתנת ע"י:

U_{B}=\,\frac{B^{2}}{8\pi}

ו σT הינו חתך הפעולה של תומסון.

זמן הקירור

זמן הקרור של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Cooling Time), מסומן ב ts, מוגדר להיות הזמן שלוקח לאלקטרון יחסותי שהאנרגיה הקינטית שלו ניתנת ע"י \gamma_{e}m_{e}c^{2} לאבד את האנרגיה שלו. זמן זה ניתן מחלוקת האנרגיה בהספק והוא:

t_{s}=\,\frac{\gamma_{e}m_{e}c^{2}}{P_{s}}\cong\,7.7\times10^{8}\beta_{e}^{-2}\gamma_{e}^{-1}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-2}~{\rm s}

הנוסחא האחרונה נכונה רק כאשר העומק האופטי בתדירות הסינכרוטרון הינה קטנה מ 1. אחרת יש להביא בחשבון שהאלקטרון מקבל אנרגיה מפוטונים הנפלטים מאלקטרונים אחרים - מצב הקרוי בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Self Absorption) ויפורט בהמשך.

הספק ליחידת זווית מרחבית

ההספק של קרינת סינכרוטרון ליחידת זווית מרחבית ניתן ע"י:

\frac{dE}{d\Omega}=\,\frac{e^{4}B^{2}\beta_{e}^2(1-\beta_{e}^2)}{8\pi^2m_{e}^2c^3}\Big[ \frac{2+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta}{(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{5/2}}-\frac{(1-\beta_{e}^{2})(4+\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)\cos^{2}\theta}{4(1-\beta_{e}^{2}\cos^{2}\theta)^{7/2}} \Big]

כאשר θ הינה הזווית בין כיוון הצופה והמישור הניצב לכיוון השדה המגנטי (מישור התנועה של החלקיק).

ספקטרום

בהנחה שלכל האלקטרונים אותה אנרגיה, \gamma m_{e}c^{2}, אזי נגדיר את התדירות:

\omega_{c}=\,\gamma^{2}\frac{3}{2}\frac{eB\sin{\alpha}}{m_{e}c}

כאשר α (נקראת גם: pitch angle) היא הזווית בין כיוון השדה המגנטי וכיוון התנועה של האלקטרונים.

במקרה שלכל האלקטרונים אותה אנרגיה, אזי ספקטרום קרינת הסינכרוטרון ניתן ע"י:

\frac{dI}{d\omega}=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}B}{2\pi m_{e}c^{2}}F\Big(\frac{\omega}{\omega_{c}}\Big)

כאשר:

F(\xi)=\,\xi\int_{\xi}^{\infty}{K_{5/3}(z)dz}

וכאשר K5/3 הינה פונקציית מקדונלד שניתנת ע"י:

K_{u}(z)=\,\frac{\Gamma(u+1/2)(2z)^{u}}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{(t^{2}+z^{2})^{u+1/2}}dt}

במקרה ולאלקטרונים יש התפלגות אנרגיות שניתנת לביטוי ע"י חוק חזקה מהטיפוס:

n(E)dE=\,CE^{-p}dE

אזי סה"כ ההספק בקרינת סינכרוטרון ליחידת תדר זוויתי ω ניתנת ע"י:

P_{tot}(\omega)=\,\frac{\sqrt{3}e^{3}CB\sin{\alpha}}{2\pi m_{e}c^{2}(p+1)}\Gamma\Big(\frac{3p-1}{12}\Big)\Gamma\Big(\frac{3p+19}{12}\Big)\Big(\frac{m_{e}^{3}c^{5}\omega}{3eB\sin{\alpha}}\Big)^{-(p-1)/2}\propto \omega^{(1-p)/2} B^{(3-p)/2}

בליעה עצמית

בתדירויות נמוכות יתכן מצב ובו האלקטרונים יבלעו את הפוטונים הנפלפטים על ידיהם. מצב הקרוי בליעה עצמית של קרינת סינכרוטרון (Synchrotron Self-Absorption). במצב זה ספקטרום קרינת הסינכרוטרון מתחת לתדירות שבה העומק האופטי לבליעה ע"י האלקטרונים גדול מיחידה ניתן ע"י ν5/2. הסבר פשוט לספקטרום הנ"ל הינו ספקטרום ריילי ג'ינס:

I_{\nu}=\,2\Big(\frac{\nu}{c}\Big)^{2}k_{B}T

שבו אנו מחליפים את האנרגיה הממוצעת של פוטון kBT ב:

\gamma m_{e}c^{2}

ו \nu=\,\gamma^{2}\nu_{L}

כאשר νL הינה תדירות לרמור (Larmor Frequency)

ומכאן מקבלים כי:

I_{\nu}\propto\,\nu^{5/2}