רדיוס לרמור

מתוך אסטרופדיה
גרסה מ־19:22, 4 באפריל 2010 מאת Omer (שיחה | תרומות) (הכללה למקרה היחסותי)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

רדיוס לרמור (באנגלית: Larmor radius) או רדיוס הציקלוטרון (באנגלית: Cyclotron Radius) או רדיוס הג'ירו (באנגלית: Radius of Gyration) הינו הרדיוס של מסלול מעגלי של חלקיק טעון בנוכחות שדה מגנטי אחיד וקבוע.

נספח מתמטי

כל הגדלים והנוסחאות מבוטאים במערכת היחידות cgs.

ניתן לקבל את רדיוס לרמור מהשוואת וקטור כח לורנץ הפועל על חלקיק בעל מטען q הנע בשדה מגנטי בעוצמה B ובמהירות v:

\vec{F}=\,q(\vec{E}+\frac{1}{c}\vec{v}\times\vec{B})

כאשר, c מהירות האור, E שדה חשמלי ונניח כי עוצמתו שווה לאפס,

עם הכח הצנטרופוגלי:

F=\,\frac{mv^{2}}{r}

ואז רדיוס לרמור ניתן ע"י:

r_{L}=\,\frac{mcv_{r}}{|q|B}=\,0.0057\Big(\frac{v_{r}}{1\,{\rm km\,s}^{-1}}\Big)\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)^{-1}~{\rm cm}

כאשר m הינו מסת החלקיק, vr רכיב המהירות של החלקיק בתנועה המעגלית, q מטען החלקיק ו B עוצמת השדה המגנטי.


תדירות הציקלוטרון

הזמן שלוקח לחלקיק להשלים סיבוב אחד הינו:

t_{r}=\,\frac{2\pi r_{L}}{v_{r}}=\,\frac{2\pi mc}{|q|B}

ועל כן תדירות הסיבוב, הקרויה גם תדירות הציקלוטרון (Cyclotron Frequency) היא:

\nu_{c}=\,\frac{|q|B}{2\pi mc}=\,2.80\times10^{6}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)\Big(\frac{m}{m_{e}}\Big)^{-1}\,{\rm Hz}=\,1.52\times10^{3}\Big(\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big)\Big(\frac{m}{m_{p}}\Big)^{-1}\,{\rm Hz}

כאשר me הינו מסת האלקטרון ו mp מסת הפרוטון. תדירות זו היא גם תדירות הקרינה הנפלטת מהחלקיק עקב התנועה הסיבובית בשדה המגנטי.

הכללה למקרה היחסותי

כאשר החלקיק נע במהירות יחסותית יש להחליף את התנע הקוי mv בתנע היחסותי, math>\gamma</math>mv>, ואז m היא מסת המנוחה של החלקיק. ותדירות הסיבוב המתקבלת היא:

\nu_B=\frac{|q|B}{2\pi\gamma mc}=\frac{\nu_c}{\gamma}

עקב אפקט דופלר היחסותי תדירות הקרינה הנפלטת תלויה בזווית הצופה יחסית לכוון תנועת החלקיק. במהירויות הקרובות למהירות האור (\gamma>>1) רוב הקרינה נפלטת בכוון תנועת החלקיק לתוך קונוס בזוית פתיחה של \gamma^{-1} (ראה אפקט האלומתיות). לכן צופה שניצב במישור הסיבוב של החלקיק יוכל הלכה למעשה, לראות קרינה הנפלטת רק מתוך ~ \gamma^{-1} מכלל מסלול התנועה המעגלי של החלקיק. כולמר הצופה יראה פולסים של אור, במקום פליטה רציפה וקבועה. נוסף על כך עקב אפקט דופלר היחסותי הפולס שנצפה יידחס בשיעור של ~ \gamma^{-2}. כלומר סה"כ הזמן שנמשך כל פולס יקוצר פי \gamma^{-3} מזמן הסיבוב של החלקיק. כדי לקבל את תדירות האור הנפלטת יש לבצע התמרת פורייה ממרחב הזמן למרחב התדירויות. המרה כזו של פעימה בעלת משך זמן סופי נותנת רצף של תדירויות במקום תדירות אחת המתקבתלת במקרה הלא יחסותי. ניתן להעריך את תדירות ההקרינה האופיינית כ:

\nu_{s}=\gamma^{3}\nu_B\cong\,2.8\times10^{6}\gamma^{2}\frac{B}{1\,{\rm G}}\Big(\frac{m}{m_{e}}\Big)^{-1}~{\rm Hz}

תדירות זאת נקראת תדירות הסינכרוטרון.

ראו גם

הרצראות וידאו

קישורים חיצוניים

ספרות מקצועית

מחברים


ערן אופק, עמר ברומברג