הבדלים בין גרסאות בדף "שאלה:כיצד אפשר לחשב את האקסצנטריות של הירח בעזרת החוק הראשון והשני של קפלר?"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
(28 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
'''תאריך:''' 03-05-2010
 
'''תאריך:''' 03-05-2010
 +
 +
==רקע==
 +
 +
[[תמונה:Kepler_2nd_law.jpg|שמאל|250px|ממוזער|תיאור גאומטרי של החוק השני של קפלר. הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים ב[[מערכות זמן|זמנים]] שווים. כפי שנראה באיור שטח המשולש SAB זווה לשטח המשולש CDS ועל כן הזמן שבו לוקח לכוכב הלכת לנוע מ A ל B זהה לזמן שבו הוא גומע את המרחק בין הנקודות C ל D.]]
 +
 +
[[חוקי קפלר]] הם חוקים המתארים את מסלול [[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] סביב [[השמש]], אך הם מתארים נכונה באופן כללי [[תנועה דו-גופית|תנועת שני גופים]] שבהם גוף אחד [[מסה|מאסיבי]] הרבה יותר מהגוף השני.
 +
 +
להלן שני החוקים הראשונים של קפלר שרלוונטים לנושא השאלה:
 +
 +
'''החוק הראשון של קפלר''' קובע כי [[אלמנטים של מסלול|מסלול]] של כל [[כוכב לכת]] סביב [[השמש]] הינו [[חתכים חרוטיים|אליפסה]] שהשמש נמצאת באחד מהמוקדים שלה.
 +
 +
'''החוק השני של קפלר''' או '''חוק השטחים של קפלר''' קובע כי הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים ב[[מערכות זמן|זמנים]] שווים.
 +
החוק השני של קפלר מודגם באיור משמאל. אם שטחו של המשולש SAB שווה לשטחו של המשולש CDS, אזי פרק הזמן שבו כוכב הלכת עובר מנקודה A לנקודה B שווה לפרק הזמן שבו כוכב הלכת נע מהנקודה C לנקודה D. משמעותו של החוק הנ"ל הוא שכאשר כוכב הלכת קרוב לשמש (מסומנת בעגול צהוב), אזי הוא נע מהר יותר ביחס למהירותו כאשר הוא רחוק מהשמש. החוק השני של קפלר נובע מחוק שימור ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]].
  
 
==תשובה==
 
==תשובה==
  
 +
מהחוק השני של קפלר ניתן לפתח נוסחה מתמטית המתארת את מהירות התנועה של גוף סביב גוף אחר (מאסיבי יותר) כתלות במרחק בין שני הגופים (ראו נספח מתמטי).
 +
מנוסחה זו עולה, כצפוי מהתיאור לעיל, כי כאשר הירח נמצא קרוב לכדור הארץ הוא נע מהר יותר ועל כן גם המהירות הזוויתית בה הוא נצפה על פני כיפת השמיים תהיה מהירה יותר.
 +
 +
למעשה, מהחוק השני של קפלר נובע ישירות כי המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים מתכונתית לאחד חלקי מרחקו מכדור-הארץ בריבוע
 +
(הכוונה במהירות זוויתית היא למשל לכמה [[יחידות|מעלות]] נע הירח על פני כיפת השמיים במשך [[יממה שמשית|יום]]).
 +
על כן, אם נמדוד את המהירות הזוויתית של [[הירח]] על פני [[כיפת השמיים]]  כאשר הוא במרחקו המזערי מכדור הארץ (ומהירותו מרבית) וכאשר הוא במרחק המירבי מכדור הארץ (ומהירותו מזערית), אזי מיחס המהירויות הזוויתיות הנ"ל ניתן לקבל את היחס בין המרחק המירבי למזערי של הירח מכדור הארץ (ראו נספח מתמטי). יחס המרחקים הללו תלוי ב[[אלמנטים של מסלול|אקסצנטריות המסלול]] של הירח ועל כן מדידתו מאפשרת את מדידת אקסצנטריות המסלול של הירח סביב כדור-הארץ.
 +
 +
בפועל, מאחר והמרחק של הירח מ[[כדור הארץ]] הינו כ-60 רדיוסי ארץ אזי מדידה כפי שתוארה כאן תלויה במיקומו של הצופה על כדור הארץ ועשויה להוביל לשגיאה יחסית של בערך אחד חלקי 60. כמובן שאם יודעים את מיקומו של הצופה על כדור הארץ ניתן לבצע מדידה מדויקת יותר.
 +
 +
==נספח מתמטי==
 +
 +
ניתן לרשום את החוק השני של קפלר באמצעות ה[[משוואה דיפרנציאלית|משוואה הדיפרנציאלית]] ה[[וקטור|וקטורית]] הבאה:
 +
 +
 +
<math>\vec{L}=\,\vec{r} \times \vec{v}dt</math>
 +
 +
כאשר L הינו קבוע ושווה ל[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] ליחידת [[מסה]], r הינו וקטור המרחק בין שני הגופים, v הינו וקטור המהירות של הירח ו dt הינו דיפרנציאל של זמן.
 +
 +
משוואה זו ניתן לרשום גם כך:
 +
 +
<math>r^{2}\frac{d\theta}{dt}=\,L=\,\sqrt{GMa(1-e^{2})}</math>
 +
 +
כאשר <math>\frac{d\theta}{dt}</math> הינה המהירות הזוויתית של הגוף הקטן (הירח) כפי שנראה מהגוף הראשי (כדור הארץ), G הינו [[קבועים פיזיקלים|קבוע הכבידה העולמי]], M הינה סה"כ המסה של שני הגופים במערכת, a הינו חצי הציר הארוך של האליפסה המתארת את מסלול הגוף המשני ו e הינה [[אלמנטים של מסלול|אקסצנטריות המסלול]].
 +
מכאן עולה, אגב, כי במידה ואנו יודעים את G, M, a, ואנו מודדים את המהירות הזוויתית אזי ניתן לחלץ את אקסצנטריות
 +
המסלול. אך כפי שנראה להלן, ניתן לחשב את האקסצנטריות גם מבלי לדעת את ערכם של גדלים אלו.
 +
 +
מכאן מיד מקבלים כי המהירות הזוויתית מתכונתית לאחד חלקי המרחק בריבוע:
 +
 +
<math>\frac{d\theta}{dt}\propto\,\frac{1}{r^{2}}</math>
 +
 +
על כן אם נמדוד את המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים כאשר הוא במרחק המזערי מכדור הארץ q וכאשר הוא במרחק המירבי מכדור הארץ Q, אזי מהיחס בין המהירות הזוויתית של הירח בשתי נקודות אלו ניתן לקבל את היחס בין המרחק המרבי למזערי Q/q.
 +
למשל אם נסמן את המהירות הזוויתית המזערית של הירח ב &phi;<sub>min</sub> ואת המהירות הזוויתית המרבית של הירח ב &phi;<sub>max</sub> אזי:
 +
 +
<math>\frac{\phi_{min}}{\phi_{max}}=\,\Big(\frac{Q}{q}\Big)^{2}</math>
 +
 +
לבסוף מהחוק הראשון של קפלר אנו יודעים כי ניתן לתאר את המסלול כ[[חתכים חרוטיים|אליפסה]] ועל כן מהגדרת האליפסה ידוע כי אקסצנטריות המסלול ניתנת ע"י:
 +
 +
<math>\frac{Q}{q}=\,\frac{1+e}{1-e}</math>
 +
 +
ועל כן:
 +
 +
<math>e=\,\frac{Q-q}{Q+q}=\,\frac{Q/q-1}{1-Q/q}</math>
  
 +
וכך קיבלנו את אקסצנטריות המסלול.
  
 
==ראו גם==
 
==ראו גם==
שורה 12: שורה 68:
 
* [[משוואת קפלר]]
 
* [[משוואת קפלר]]
 
* [[תנועה דו-גופית]]
 
* [[תנועה דו-גופית]]
 +
* [[אלמנטים של מסלול]]
  
  
שורה 21: שורה 78:
 
'''מחברים'''
 
'''מחברים'''
 
----
 
----
[[צוות האסטרופדיה#קרן שרון|קרן שרון|]]
+
[[צוות האסטרופדיה#ערן אופק|ערן אופק]]

גרסה אחרונה מ־11:57, 6 במאי 2010

שאלה: כיצד אפשר לחשב את האקסצנטריות של הירח בעזרת החוק הראשון והשני של קפלר?

תאריך: 03-05-2010

רקע

תיאור גאומטרי של החוק השני של קפלר. הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. כפי שנראה באיור שטח המשולש SAB זווה לשטח המשולש CDS ועל כן הזמן שבו לוקח לכוכב הלכת לנוע מ A ל B זהה לזמן שבו הוא גומע את המרחק בין הנקודות C ל D.

חוקי קפלר הם חוקים המתארים את מסלול כוכבי הלכת סביב השמש, אך הם מתארים נכונה באופן כללי תנועת שני גופים שבהם גוף אחד מאסיבי הרבה יותר מהגוף השני.

להלן שני החוקים הראשונים של קפלר שרלוונטים לנושא השאלה:

החוק הראשון של קפלר קובע כי מסלול של כל כוכב לכת סביב השמש הינו אליפסה שהשמש נמצאת באחד מהמוקדים שלה.

החוק השני של קפלר או חוק השטחים של קפלר קובע כי הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. החוק השני של קפלר מודגם באיור משמאל. אם שטחו של המשולש SAB שווה לשטחו של המשולש CDS, אזי פרק הזמן שבו כוכב הלכת עובר מנקודה A לנקודה B שווה לפרק הזמן שבו כוכב הלכת נע מהנקודה C לנקודה D. משמעותו של החוק הנ"ל הוא שכאשר כוכב הלכת קרוב לשמש (מסומנת בעגול צהוב), אזי הוא נע מהר יותר ביחס למהירותו כאשר הוא רחוק מהשמש. החוק השני של קפלר נובע מחוק שימור התנע הזוויתי.

תשובה

מהחוק השני של קפלר ניתן לפתח נוסחה מתמטית המתארת את מהירות התנועה של גוף סביב גוף אחר (מאסיבי יותר) כתלות במרחק בין שני הגופים (ראו נספח מתמטי). מנוסחה זו עולה, כצפוי מהתיאור לעיל, כי כאשר הירח נמצא קרוב לכדור הארץ הוא נע מהר יותר ועל כן גם המהירות הזוויתית בה הוא נצפה על פני כיפת השמיים תהיה מהירה יותר.

למעשה, מהחוק השני של קפלר נובע ישירות כי המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים מתכונתית לאחד חלקי מרחקו מכדור-הארץ בריבוע (הכוונה במהירות זוויתית היא למשל לכמה מעלות נע הירח על פני כיפת השמיים במשך יום). על כן, אם נמדוד את המהירות הזוויתית של הירח על פני כיפת השמיים כאשר הוא במרחקו המזערי מכדור הארץ (ומהירותו מרבית) וכאשר הוא במרחק המירבי מכדור הארץ (ומהירותו מזערית), אזי מיחס המהירויות הזוויתיות הנ"ל ניתן לקבל את היחס בין המרחק המירבי למזערי של הירח מכדור הארץ (ראו נספח מתמטי). יחס המרחקים הללו תלוי באקסצנטריות המסלול של הירח ועל כן מדידתו מאפשרת את מדידת אקסצנטריות המסלול של הירח סביב כדור-הארץ.

בפועל, מאחר והמרחק של הירח מכדור הארץ הינו כ-60 רדיוסי ארץ אזי מדידה כפי שתוארה כאן תלויה במיקומו של הצופה על כדור הארץ ועשויה להוביל לשגיאה יחסית של בערך אחד חלקי 60. כמובן שאם יודעים את מיקומו של הצופה על כדור הארץ ניתן לבצע מדידה מדויקת יותר.

נספח מתמטי

ניתן לרשום את החוק השני של קפלר באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית הוקטורית הבאה:


\vec{L}=\,\vec{r} \times \vec{v}dt

כאשר L הינו קבוע ושווה לתנע הזוויתי ליחידת מסה, r הינו וקטור המרחק בין שני הגופים, v הינו וקטור המהירות של הירח ו dt הינו דיפרנציאל של זמן.

משוואה זו ניתן לרשום גם כך:

r^{2}\frac{d\theta}{dt}=\,L=\,\sqrt{GMa(1-e^{2})}

כאשר \frac{d\theta}{dt} הינה המהירות הזוויתית של הגוף הקטן (הירח) כפי שנראה מהגוף הראשי (כדור הארץ), G הינו קבוע הכבידה העולמי, M הינה סה"כ המסה של שני הגופים במערכת, a הינו חצי הציר הארוך של האליפסה המתארת את מסלול הגוף המשני ו e הינה אקסצנטריות המסלול. מכאן עולה, אגב, כי במידה ואנו יודעים את G, M, a, ואנו מודדים את המהירות הזוויתית אזי ניתן לחלץ את אקסצנטריות המסלול. אך כפי שנראה להלן, ניתן לחשב את האקסצנטריות גם מבלי לדעת את ערכם של גדלים אלו.

מכאן מיד מקבלים כי המהירות הזוויתית מתכונתית לאחד חלקי המרחק בריבוע:

\frac{d\theta}{dt}\propto\,\frac{1}{r^{2}}

על כן אם נמדוד את המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים כאשר הוא במרחק המזערי מכדור הארץ q וכאשר הוא במרחק המירבי מכדור הארץ Q, אזי מהיחס בין המהירות הזוויתית של הירח בשתי נקודות אלו ניתן לקבל את היחס בין המרחק המרבי למזערי Q/q. למשל אם נסמן את המהירות הזוויתית המזערית של הירח ב φmin ואת המהירות הזוויתית המרבית של הירח ב φmax אזי:

\frac{\phi_{min}}{\phi_{max}}=\,\Big(\frac{Q}{q}\Big)^{2}

לבסוף מהחוק הראשון של קפלר אנו יודעים כי ניתן לתאר את המסלול כאליפסה ועל כן מהגדרת האליפסה ידוע כי אקסצנטריות המסלול ניתנת ע"י:

\frac{Q}{q}=\,\frac{1+e}{1-e}

ועל כן:

e=\,\frac{Q-q}{Q+q}=\,\frac{Q/q-1}{1-Q/q}

וכך קיבלנו את אקסצנטריות המסלול.

ראו גם


מחברים


ערן אופק