הבדלים בין גרסאות בדף "שאלה:כיצד אפשר לחשב את האקסצנטריות של הירח בעזרת החוק הראשון והשני של קפלר?"

מתוך אסטרופדיה
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(נספח מתמטי)
(נספח מתמטי)
שורה 29: שורה 29:
  
 
ניתן לרשום את החוק השני של קפלר באמצעות ה[[משוואה דיפרנציאלית|משוואה הדיפרנציאלית]] ה[[וקטור|וקטורית]] הבאה:
 
ניתן לרשום את החוק השני של קפלר באמצעות ה[[משוואה דיפרנציאלית|משוואה הדיפרנציאלית]] ה[[וקטור|וקטורית]] הבאה:
 
בעריכה
 
  
 
<math>\vec{C}=\,\vec{r} \times \vec{v}dt</math>
 
<math>\vec{C}=\,\vec{r} \times \vec{v}dt</math>
שורה 54: שורה 52:
 
<math>\theta=\,\frac{v}{r}</math>
 
<math>\theta=\,\frac{v}{r}</math>
  
על כן אם נמדוד את המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים כאשר הוא במרחק המזערי מכדור הארץ
+
על כן אם נמדוד את המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים כאשר הוא במרחק המזערי מכדור הארץ r<sub>min</sub> וכאשר הוא במרחק המירבי r<sub>max</sub> מכדור הארץ, אזי מהיחס בין המהירות הזוויתית של הירח בשתי נקודות אלו ניתן לקבל את היחס בין המרחק המרבי למזערי הנ"ל
r<sub>min</sub> וכאשר הוא במרחק המירבי r<sub>max</sub> מכדור הארץ.
 
  
 
לבסוף אקסצנטריות המסלול ניתנת ע"י:
 
לבסוף אקסצנטריות המסלול ניתנת ע"י:

גרסה מ־07:29, 4 במאי 2010

שאלה: כיצד אפשר לחשב את האקסצנטריות של הירח בעזרת החוק הראשון והשני של קפלר?

תאריך: 03-05-2010

רקע

תיאור גאומטרי של החוק השני של קפלר. הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. כפי שנראה באיור שטח המשולש SAB זווה לשטח המשולש CDS ועל כן הזמן שבו לוקח לכוכב הלכת לנוע מ A ל B זהה לזמן שבו הוא גומע את המרחק בין הנקודות C ל D.

חוקי קפלר הם חוקים המתארים את מסלול כוכבי הלכת סביב השמש, אך הם מתארים נכונה באופן כללי תנועת שני גופים שבהם גוף אחד מאסיבי הרבה יותר מהגוף השני.

להלן שני החוקים הראשונים של קפלר שרלוונטים לנושא השאלה:

החוק הראשון של קפלר קובע כי מסלול של כל כוכב לכת סביב השמש הינו אליפסה שהשמש נמצאת באחד מהמוקדים שלה.

החוק השני של קפלר או חוק השטחים של קפלר קובע כי הקו שמחבר בין כוכב הלכת והשמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. החוק השני של קפלר מודגם באיור משמאל. אם שטחו של המשולש SAB שווה לשטחו של המשולש CDS, אזי פרק הזמן שבו כוכב הלכת עובר מנקודה A לנקודה B שווה לפרק הזמן שבו כוכב הלכת נע מהנקודה C לנקודה D. משמעותו של החוק הנ"ל הוא שכאשר כוכב הלכת קרוב לשמש (מסומנת בעגול צהוב), אזי הוא נע מהר יותר ביחס למהירותו כאשר הוא רחוק מהשמש. החוק השני של קפלר נובע מחוק שימור התנע הזוויתי.


תשובה

מהחוק השני של קפלר ניתן לפתח נוסחא מתמטית המתארת את מהירות התנועה גוף סביב גוף אחר (מאסיבי יותר) כתלות במרחק בין שני הגופים (ראו נספח מתמטי). מנוסחא זו כמובן עולה כי כאשר הירח קרוב לכדור הארץ הוא נע מהר יותר ועל כן גם מהירות תנועתו הזוויתית על פני כיפת השמיים מהירה יותר. אם נמדוד את המהירות הזוויתית של הירח על פני כיפת השמיים (למשל כמה מעלות נע הירח על פני כיפת השמיים במשך יום), ניתן לתרגם את המהירות הזוויתית הנ"ל למרחק של הירח מכדור הארץ. עתה מהיחס בין המרחק המירבי והמזערי של הירח מכדור הארץ ניתן לחלץ את אקסצנטריות המסלול של הירח.

בפועל, מאחר והמרחק של הירח מכדור הארץ הינו כ-60 רדיוסי ארץ אזי מדידה כפי שתוארה כאן תלויה במיקומו של הצופה על כדור הארץ ועשויה להוביל לשגיאה יחסית של בערך אחד ל 60. כמובן שאם יודעים את מיקומו של הצופה על כדור הארץ ניתן לבצע מדידה מדויקת.


נספח מתמטי

ניתן לרשום את החוק השני של קפלר באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית הוקטורית הבאה:

\vec{C}=\,\vec{r} \times \vec{v}dt

כאשר C הינו קבוע (הקשור לתנע הזוויתי), r הינו וקטור המרחק בין שני הגופים, v הינו וקטור המהירות של הירח ו dt הינו דיפרנציאל של זמן.

משוואה זו ניתן לרשום גם כך:

r^{2}\frac{d\theta}{dt}=\,C=\,\sqrt{GMa(1-e^{2})}

כאשר \frac{d\theta}{dt} הינה המהירות הזוויתית של הגוף הקטן (הירח) כפי שנראה מהגוף הראשי (כדור הארץ), G הינו קבוע הכבידה העולמי, M הינה סה"כ המסה של שני הגופים במערכת, a הינו חצי הציר הארוך של האליפסה המתארת את מסלול הגוף המשני ו e הינה אקסצנטריות המסלול. מכאן אגב עולה כי במידה ואנו יודעים את G, M, a, ואנו מודדים את המהירות הזוויתית אזי ניתן לחלץ את אקסצנטריות המסלול. אך כפי שנראה להלן, ניתן לחשב את האקסצנטריות גם מבלי לדעת את ערכם של גדלים אלו.

מאינטגרציה של משוואה זו ניתן לקבל את המהירות כתלות במרחק:

v^{2}=\,GM\Big(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big)

כאשר a הינו חצי הציר הארוך של האליפסה שמתארת את תנועת הגוף (הירח).

עתה המהירות הזוויתית של הירח על פני כיפת השמיים ניתנת ע"י:

\theta=\,\frac{v}{r}

על כן אם נמדוד את המהירות הזוויתית של תנועת הירח בשמיים כאשר הוא במרחק המזערי מכדור הארץ rmin וכאשר הוא במרחק המירבי rmax מכדור הארץ, אזי מהיחס בין המהירות הזוויתית של הירח בשתי נקודות אלו ניתן לקבל את היחס בין המרחק המרבי למזערי הנ"ל

לבסוף אקסצנטריות המסלול ניתנת ע"י:

בעריכה

ראו גם


מחברים


ערן אופק